割合から実数を求める

久々ですが問題です．

1. あるアンケートの設問で，「該当する」と回答した割合が14%だった．N≦100の範囲で，アンケートの回答者数を求めなさい．
2. あるアンケートの設問で，「該当する」と回答した割合が1%だった．N≦100の範囲で，アンケートの回答者数を求めなさい．

プログラムを書く前に，いくつか計算してみます．「14%」について，1/7 = 0.14285以下略なので，N=7は解になります．「1%」のほうは，1/100 = 0.01なので，N=100は当然，解です．
Nって何?という人がいるかもしれないので補足しておくと，統計処理の結果をグラフにする際，実数すなわち上の例では「アンケートの回答者数」のことを，とくに断ることなく「N=数」で表すことがあります．もう一つ補足ですが，ここでの「実数」は，real numberではなくactual count(あるいはactual number)といいます．
さて，この問題の厄介なところは，割合は，その分母と分子となる整数値があって初めて求められますが，問題文の通り，そのどちらも明示されていないということです．
それで，1/7 = 0.14285以下略を1/0.14285以下略 = 1と式変形できるので，「100/パーセンテージ」で求めればいいのかというと，不十分です．「1%」の問題で，67人中1人が「該当する」と回答したら，1/67 = 0.01492以下略で，パーセンテージにして小数点以下を四捨五入すれば1%となり，N=67も解になるわけです．
単純な割り算では求められないし，どうやらいくつも解があるようなので，プログラムを書いてループを回さないといけないなと思えてきます．
では，プログラムです．

#!/usr/bin/env ruby

# actualcount1.rb

class ActualCount
  def initialize(rate_, max_ = 100)
    @rate = rate_
    @max = max_
  end

  def get_actualcount
    1.upto(@max) do |d|
      # (@rate-0.5)/@max≦n/d＜(@rate0.5)/@max を満たす整数nを探す
      # 変形すると，(@rate*10-5)*d/(@max*10)≦n＜(@rate*10+5)*d/(@max*10)
      n_min = ((@rate.to_f * 10.0 - 5.0) * d.to_f / (@max.to_f * 10.0)).ceil
      n_max = ((@rate.to_f * 10.0 + 5.0) * d.to_f / (@max.to_f * 10.0)).floor
      if n_min <= n_max
        n = n_min.to_i
        puts "Found! N=#{d}"
        puts "  %d * %d / %d = %g -> %d" % \
        [@max, n, d, @max.to_f * n.to_f / d.to_f, @rate]
      end
    end
  end
end

if __FILE__ == $0
  max = (ARGV.shift || 100).to_i
  rate = (ARGV.shift || 14).to_i
  ActualCount.new(rate, max).get_actualcount
end

実行結果は，「ruby actualcount1.rb」と「ruby actualcount1.rb 100 1」でご確認ください．100以下の範囲で，前者は52個，後者は34個の解(「実数」の候補)が出てきます．前者すなわち「14%」は，初めのうちは7の倍数かなと見ていくと，28のほかに29も，35のほかに36も37も解になることがわかります．後者すなわち「1%」では，67≦N≦100はすべて解になります．「14%」に戻ると，N=88,90は解ですが，間のN=89は解に含まれていません．
プログラムの勘所は，コメントに書いているとおり， $r$ =@rate, $M$ =@maxが与えられたときに，
$\frac{r-0.5}{M}\le\frac{n}{d}<\frac{r+0.5}{M}$
を満たす分子n, 分母dの組を，dを1から@maxの範囲でループさせて求めることです．そのような整数n，dの組が見つかれば，その分母dが，求めるべきNの一つとなり，そのときのnは，「該当する」と回答した人の数になります．
dはループを回すことで常に整数になるので，nが存在するか否かだけを見ればいいわけです．これは，

$\frac{r-0.5}{M}\le\frac{n}{d}$ を満たす最小の整数 $n$ をn_min
$\frac{n}{d}<\frac{r+0.5}{M}$ を満たす最大の整数 $n$ をn_max

としたとき，n_min≦n_maxとなるかどうかで判定できます．@rate=7, @max=100を固定して，

d=6のときは， $\frac{14-0.5}{100}\le\frac{n}{6}<\frac{14+0.5}{100}$ より， $0.81\le n<0.87$ …解なし
d=7のときは， $\frac{14-0.5}{100}\le\frac{n}{7}<\frac{14+0.5}{100}$ より， $0.945\le n<1.015$ …n=1が解