正解・不正解の線引き

一連のエントリを読むのが面倒くさい，長すぎて何を主張したいのか分からないというご来訪者様のために，いくつか図を用意しました．
一連のエントリを書いていった結果，提案することとなった，「求め方の構造」は，次の図で表されます．なお，あとの図と整合性をはかるため，Inkscapeで描きました．

しかし小学校の授業で，この形式の《問い》が出され始めたとき，必ずしも，このaからeまでが想定されていたわけではありませんでした．b, d, eのみだったと推測できます．

そして正解と不正解の線引きは，こうです*1．

このときのd，より正確には，結果として書かれた「５×３＝１５」が間違いなのは，書かれた「しき」から，問題文の中で何が「１つ分の大きさ」であり何が「いくつ分」なのかを理解していない，と読み取れるからです．また，図において線（点線でないもの．「辺」ともいいます）は，下から上に向かって，より望ましい状態へ移行する関係を表しています．eからbへすぐジャンプする人もいるかもしれません．bとeを結んでいないのは，順序関係が推移性を有するからです．
やがて，cが現れるようになりました．授業の中でこれを教えた人，教わった人，自ら発見した人もいるでしょうし，遠山啓氏の著書などからかもしれません*2．
そうすると，構造はこうなります．

この時点では，cとdの間は結ばれません．dの考え方からcの考え方に移行した，というわけではないからです．
さて，cの考え方は，確かに「１つ分の大きさ」×「いくつ分」＝「全体の大きさ」を適用して立てた式なので，正解にしてあげたいものです．これは，正解と不正解の線引きを，次の図のようにするという要請です．

しかし，cの求め方を授業で教えずに出題し，採点する者からすると，cでもdでも，「しき」は「５×３＝１５」です．このとき，授業で教えていない方法で解くのは，違和感があります．児童が，別のところでcを知ってかつ「５×３＝１５」を書く可能性は，非常に低そうです（ここに異論を持つ方もいらっしゃるでしょうが，あとでaを持ち出して，そう考えられる理由を述べますので，もうしばらくご辛抱ください）．答案返却後に児童がcの求め方だと主張したとしても，後知恵でないかと考えるわけです（これによって，cとdが関連づけられることになり，線で結ばれます）．
したがって，正解と不正解の線引きは，こうなります．

それに対して，近年，「５×３＝１５」を正解とすべきという主張が強くなってきました．理由はいくつか考えられます．cの求め方を知る機会が，人づてでも，遠山氏の著書でもWeb上でも*3，多数出てきています．それを，ある解釈でマルなのだから一律にマルにすべきだ，問題の出し方が悪い，決まった求め方しか正解にしないというのは将来のために良くない，といった意見が後押しします．
交換可能支持者の期待する線引きは，こうです．

私は，bにもcにもその「上」がないことに，心地の悪さを感じました．本当にbで終わって，cで終わっていいものか，です．これを動機として，あれこれ迷いつつ，aの求め方を確立しました．
しかし今，ここで文字にしてみると，昔からも，児童が，別のところでcを知ってかつ，学校でこのいわば引っかけ問題を見たときに，「５×３＝１５でも理由は説明できるけれど，マルバツをつける先生には伝わらないのでこっち」と考えて，bに基づく「３×５＝１５」を解答したというのが，あったのかもしれません．aはcより上位にあるので，aの考え方をする子はcの考え方をする子よりももっと少ない（レアケースだ），という推測も一応できますが，むしろ，aのレベルまで配慮のできる子は，cを学ぶか思いつくかしてそこで思考停止する子よりも多いのではないかと考えます．
cの求め方，またcやdの結果としての「５×３＝１５」を，正解とする小学校の先生がいるとしても，私は異議を唱えません．しかし現実には，仮にcの求め方であっても，例の画像*4のようにバツにされる“可能性がある”わけです．そしてaとcを結ぶ線は，バツにされる可能性をなくすことのできる，学習上有用な流れとなるわけです．
下図が，最終的な正解・不正解の線引きです．

ここでは学習者側の立場で，厳しい採点の（マルの出にくい）*5ほうへ，点線を入れています．不正解に対してどうすれば正解できるようになるかというのは，点線と交差する辺の行く先が，教えてくれるのです．

Q: で，a〜eって何?

あったほうがいいですね．

• a ≡ 後述のbの求め方で得られる「３×５」，cの求め方で得られる「５×３」を比較し，cの書き方だとdと誤解される可能性を考慮してbの求め方を採用し，「しき」に「３×５＝１５」と書く．
• b ≡ 問題文から，「１つ分の大きさ」が（1皿あたり）3個，「いくつ分」が5枚であるのを読み取り，「しき」に「３×５＝１５」と書く．
• c ≡ 問題文から，皿に順にりんごを配ることをイメージし，「１つ分の大きさ」が（1回で配る）5個，「いくつ分」が3回であると解釈し，「しき」に「５×３＝１５」と書く．
• d ≡ 問題文から，かけ算で計算できる問題だと認識し，問題文に現れる数字のうち５と３を順に取り出して，「しき」に「５×３＝１５」と書く．
• e ≡ その他の誤答（白紙，数字の書き間違いなど）

分かりやすく抽象的に・2010年11月バージョン - わさっき

Q: 画像を使っていいですか?

どうぞ．CC BYのライセンスで，http://d.hatena.ne.jp/takehikom/files/lattice-figs.zipから取得できるようにしました．

*1:うーん，点線が辺の垂直二等分線になっていない．美しくないなぁ．

*2:例えば，遠山啓は「かけ算の順序」についてどう考えたか（その３：水道方式） ( その他自然科学 ) - さつきのブログ「科学と認識」 - Yahoo!ブログ

*3:当雑記もその一端を担っていることを，自覚しています．

*4:cの求め方をしていたかは，読み取れませんが．

*5:受験を少なからず意識しています．自分はこれが正解だと確信を持っていても，限られた時間とスペースの中で，分かってもらえる書き方をする必要があるからです．