当記事は古い内容となっています．わり算，包含除・等分除，トランプ配り (2016.05)が最新です．
「しかし，何ですねえ」
「どないしたんや」
「ちょっと，知り合いの子どものな，家庭教師をすることになったんよ」
「へえ．何年生や?」
「3年生やねんけどな」
「受験かいな」
「いや，小学校の3年やねん」
「中学受験も，そのころから勉強せなあかんて言うしな」
「そういうわけやないねん．まあちょっとしたつてで，勉強を教えたってやと言われてな」
「それでちゃんと教えてるんかいな」
「まあだいたいは教科書みてたら何とかなるねんけどな」
「よかったやないか」
「けどな，厄介なんは算数や」
「お前，昔っから苦手にしてたもんな」
「せや．小学校3年くらいやったら何とかなるやろ思てても，分からんことが多すぎてやな」
「どないすんねんな」
「その子のおらんとこでな，本を買おて勉強や，ボクも」
「そっか．んでうまいこといってんのか」
「読めば読むほど，どないして教えていったらええか，分からんようなってきた」
「なんやそれ」
例題
「紙に書いてきてんけどな，こんな問題があんねん」
「どれどれ」
とい１『りんごが １５こ あります。１さらに りんごが ３こずつ のって います。さらは ぜんぶで 何まい あるでしょう。』
「どないやって，答えを出す?」
「こんなん，わり算やないか．１５÷３＝５で，５枚や」
「お前…賢いなあ」
「いやこんなん，できて当たり前やろ」
「ほな，次な」
とい２『りんごが １５こ あります。５さらに おなじ かずの りんごが のって います。１さらに りんごは 何こ あるでしょう。』
「これやったら，どないする?」
「これもわり算やないか．１５÷５＝３で，３個や」
「へえ．ほんまか」
「それ以外にどんな答えがあんねん」
「（問題集の解答を見て）正解や」
「せやからこんなんは，わり算の基本中の基本やろが」
「ま，せやねんけどな」
「3年生やったら，こういうのを解けるように，ばしーっとたたき込んだらええやないかい」
「けどな」
「何やねんな」
「なんでこの問題，わり算にしたらええか，言えるか?」
「変なこと聞いてくるなあ」
「いやな，子どもは，なんでなんで，なんでなんでって聞いてくるねん」
「そんなん適当に答えとけや」
「それがでけへんねん」
「まあお前らしいな．それで，どないしたん」
「もうちょっといろんな本を読んだらな，今の2つの問いいうのが，包含除と等分除て言うんやて」
「ホーガンとトーブンって，人がおるんかいな」
「ホーガンは聞いたことあるけど，トーブンって言うのは，お前が初めてやな」
「そっか」
「当分，笑いのネタにさしてもらうわ」
「あかんあかん．で，その，包含除と等分除って，どんなこと言うねん」
「包含除が，さきに言うたほうや．１５個のりんごを，ひと皿に３個ずつ分けるってのな」
「そうか」
「そいで等分除は，あとのほう．１５個のりんごを，５枚の皿に，同じ数になるよう分けるわけや」
「まあ，そう言うんやったら，教えなあかんわな」
「別に教科書に書いてるわけやないで」
「ほなそんなん，教えんでもええがな」
「けどな，これがわり算としてちゃうもんやっちゅうこっちゃねんて」
「ややこしなあ」
かけ算との関係
「まあせやけどな」
「何や」
「かけ算に戻したら，うまいこといくっちゅうふうに書いてる文章を見つけてな，考えてみたんよ」
「どないなんねん」
「最初のほうの問いな，１５÷３＝５って言うたやないか」
「言うたよ」
「これをな，かけ算にすんねん」
「わり算はわり算やないか．かけ算ってどういうこっちゃ」
「３×５＝１５になんねん」
「まあ，そう言われたら，三五十五やな」
「ほんでな，2番目のほうは，アンタさっき１５÷５＝３って言うたやん」
「言うたな」
「これもかけ算にしたらな…３×５＝１５やねん」
「どっちも，三五十五かいな」
「せや」
「…逆にしたら，あかんのか」
「５×３＝１５，か?」
「せや．五三十五やろ」
「そこやねんけどな，これも2年生のかけ算の本をなんぼか読んだところによるとやな」
「ご苦労さんやなあ」
「かけ算で式にするときはな，一つ分の大きさってのを，左っかわに，それがいくつあるかってのを，右っかわに，書くっちゅうルールになってんねん」
「初めて聞いたわ」
「せやけどな，このルールのおかげで，包含除と等分除の区別がつくねん」
「どないや」
「その前に，かけ算の３×５＝１５ってのは，どういうことなんか，見とくで」
「せやな」
「りんごとお皿で，３×５＝１５になる問題を作ったらな，こないなんねん」
とい３『さらが ５まい あります。１さらに りんごが ３こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。』
「これやったら，５×３＝１５やろ」
「いやさっきも言うたように」
「ああ，分かった分かった，こんなとこで言い争いしててもしゃあない．この問いで，３×５＝１５っちゅうかけ算の式が立った．ほいでどないすんねんな」
「ここでな，？×５＝１５と，ハテナで隠して，このハテナに入る数はなんですか，って考えんねん」
「三五十五で，３しかないやろ」
「せや，ここは３やねんけど，これを，１５÷５＝３って書くことにしたら…，『りんごが １５こ あります。１さらに りんごが ３こずつ のって います。さらは ぜんぶで 何まい あるでしょう。』の答えのな，５枚になんねん」
「へえ」
「次はな，３×？＝１５ってしてみんで」
「そこも三五十五で，ハテナは５やな」
「ご名答」
「分かるわ!」
「わり算にしたら，１５÷３＝５や．そないしたらな…，『りんごが １５こ あります。５さらに おなじ かずの りんごが のって います。１さらに りんごは 何こ あるでしょう。』の答えで，３個になるやろ」
「なあ」
「何かおかしいか」
「その2種類のわり算を，別の記号で書くっちゅうのはでけへんのか?」
「そんなん，聞いたことないなあ」
「あかんのか」
「たし算とひき算を考えてみ．３＋５＝８とすんで」
「３＋５＝８な」
「それで，？＋５＝８とあったときのハテナは，８−５＝３やろ，３＋？＝８とあったときのハテナは，８−３＝５やんか」
「せやな」
「この2種類のひき算を，別の記号にせえって言われたら，どないする?」
「…．小学校で教える算数が，変わってまいそうやなあ」
「たし算とひき算の関係とおんなじように，かけ算とわり算もなってんねん」
「まあええやろ」
一つトピックがあるけど諸事情により省略：そのうち追記します．
余りの扱い
「けどな，そんなんやったら，包含除とか等分除とか考えんでもええような気ぃ，するやんか」
「まあなあ」
「これもまた本を読んでんけど，余りのあるわり算にしたら，話が変わってくんねんて」
「そうなんか」
「見てや」
とい４『りんごが １４こ あります。１さらに りんごを ３こずつ のせます。さらは ぜんぶで 何まい いるでしょう。』
「どうする?」
「まあわり算やな，１４÷３は…４で，あまりが２か」
「せやな．答えは?」
「『さらは ぜんぶで 何まい いるでしょう。』か…ちょっと教えてくれるか?」
「何や」
「２個しかりんごが乗ってへん皿は，１枚に勘定してええんか?」
「意味わからん」
「あのな，この問題な，答え方に2通りあるんちゃうかなって思うねん」
「2通りかいな」
「一つはな，『１さらに りんごを ３こずつ』乗せた皿っちゅうのは4つできて，2個はあまり，な．答えは４枚」
「へえ．もう一つは?」
「もう一つはやな…『１さらに りんごを ３こずつ』乗せた皿は4つできて，あまった2個も，別の皿に乗せとくねん．そないしたら，答えは５枚や」
「皿は5枚やなあ」
「どっちが正解なん?」
「どっちも正解にさしてもらうわ」
「何やそれ」
「いや実は考え中やってん．ていうのもな，包含除であまりのある場合を考えててやな」
「ほな，等分序でもあまりのある問題が，作れんねんな」
「せや．これや」
とい５『りんごが １４こ あります。５さらに おなじに なるよう りんごを のせます。１さらに りんごは 何こ あるでしょう。』
「わり算したら，１４÷５になって…２で，あまりが４やな」
「数字，変わってくるやろ」
「せやな．そら，わる数が３から５に変わったからなあ」
「まあせやねんけど，それで，答えはどうなる」
「『１さらに りんごは 何こ あるでしょう。』やな．『５さらに おなじに なるよう りんごを』乗せんねんから，２個ずつ乗せて，あまりは４個でええか」
「ええか?」
「いや，ええかって聞いたんはこっちのほうやねんけど」
「いやあのな，さっき包含序であまりのある問題にやな，答えが2通りあったやんか．こっちも，別の答え方でけへんかなあって」
「アンタ，答えを考えてへんのんか!?」
「教えてほしいんよ」
「変なこと言う奴っちゃなあ…せやな，ほなら『おなじに なるよう』ってのを，1個くらいやったら差があってもええかなってことにするで」
「へえ」
「まあ聞けや．そないしたら，りんごが3個乗った皿が4枚，2個だけの皿が1枚になるな」
「なるわな」
「これが答えや．４枚は，３個ずつで，１枚だけ２個」
「おもしろいなあ．まだあんで」
「…．お前，ワシを試してんのか」
「ご明察」
「ええ加減にせえよ!」
「ほなボクのほうから答えを言うわな」
「はいはいどうぞ!」
「この問題，あまり出さんと，わり切ることできるねん」
「どういうこっちゃ」
「１４÷５＝２．８ってな」
「いやまあそうやが…小学校の算数で，小数って，4年生くらいで習うんやなかったか?」
「今は大人のトークや」
「さよか…まあ，もうちょっと聞こやないか」
「答えは簡単で，２．８個やねん」
「何やそれ．『．８』って，どうすんの?」
「りんごを切るねん」
「…切るんかいな」
「１４÷５＝２あまり４で，あまりの４個のりんごをな，みな，0.8個と0.2個に切るねん」
「食えるとこだけな」
「まあ切り方は業者さんに任せよやないか」
「業者がおるんかいな，4対1にりんごを切り分けるような?」
「おらんねんけどな」
「ええ加減にせえよ」
「それはともかくとしてやな…あらかじめ，5枚の皿に2個ずつ，切られてへんりんごを乗せといてやな」
「ああ」
「4枚の皿には，0.8個にしたりんごを乗せてって…」
「最後は?」
「最後の1枚の皿には，0.2個にしたりんごを4つ，乗せんねん」
「それで，0.2×4＝0.8ってことか」
「せや」
「よかったな」
「めでたしめでたしや．ここまでのことをまとめんで」
「用意してたんかいな」
- とい４（あまりのある包含除）
- 答え１：１４÷３＝４あまり２なので，りんごを３個乗せた皿は４枚
- 答え２：１４÷３＝４あまり２なので，りんごを３個乗せた皿は４枚，２個乗せた皿は１枚となり，合わせて５枚
- とい５（あまりのある等分除）
- 答え１：１４÷５＝２あまり４なので，１皿にりんごは２個
- 答え２：１４÷５＝２あまり４なので，りんごを３個乗せた皿は４枚，２個乗せた皿は１枚
- 答え３：１４÷５＝２．８なので，１皿にりんごは２．８個
「そないなるねんな」
「それでな，包含除の問題も，３番目の答えが出たら，おもろいと思わへんか?」
「小数にしてええんやったら，１４÷３は，４．６６６６…になるな」
「せや」
「それで答えは『４．６６６６…枚』にするか?」
「あかんやろ」
「なんでや」
「りんごは切って分けられるけど，お皿を切るわけにはいかんから」
補足1
「かけ算との関係」の元ネタは以下のとおり．
除法は，乗法の逆算ともみられる。そこで，乗法と関連させて，被乗数，乗数のいずれを求める場合に当たっているかを明確にすることも大切である。包含除は3×□＝12の□を求める場合であり，等分除は，□×3＝12の□を求める場合である。また，実際に分ける場合でも，包含除も等分除と同じ仕方で分けることができることなどにも着目できるようにしていくことが大切である。そのようにして，どちらも同じ式で表すことができることが分かるようにする。
(小学校学習指導要領解説 算数(2) p.110)
なお，このページには，包含除・等分除の（指導における）比較や，余りがある場合の包含除・等分除の例題も書かれています．
小学校学習指導要領解説をすべて肯定するわけではなく，例えば上記引用の『同じ仕方で分けることができる』については要注意かなとも思います．
補足2
あまり4個のりんごを，0.8×4＋(0.2×4)＝4と分けてりんごを分ける方法を書きましたが，一般に，任意に分割・結合できる対象がm個あるとき，それをnのグループ（ただし0＜m＜n）に等分することができます．m個の1個1個をn分割し，mn個の小片を作ってから，各グループにm個の小片（m/n個の対象）を配分するのです．
補足3
今月，当雑記に書いたエントリの中で，「包含序」と書いていたものは「包含除」に修正しました．
