わさっきhb

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10円玉の長方形的配列を,授業で出すとしたら

T みんなで一緒に言いましょうね.「かけざんは,かけるじゅんばんがちがっても,おなじこたえになる」.さん,はい.
C かけざんは,かけるじゅんばんがちがっても,おなじこたえになる!
遡って…

●は10円玉です.それぞれ,全部で何円か答えなさい.
((1), (2):省略)

(3)
●●●●●
●●●●●
●●●●●
10月14日

このように問題化した際には,「積指向で学習するのでは苦労しそうな問題」と書きました.しかしちょっと考えれば,3年生向けの,乗法の結合法則を学習するための題材となります.また,「積の乗法と倍の乗法の両方が現れる場面」とも言えます.
ともあれ,式で表すなら,

  • 10×3×5=150

が期待されます.積の乗法に注意すると,縦と横に本質的な違いはありませんので,

  • 10×5×3=150

としても差し支えありません.ここで

  • 30×50=1500, 50×30=1500

は“想定される間違い”であり,授業で取り上げてこの式を書く子には,例えば「10,20,…と数えてごらん.全部でいくらになる?」などとして,おかしさに気づかせる必要もあるでしょう.
それでは,次の式は,どうでしょうか.

  • 3×5×10=150, 5×3×10=150
  • 3×10×5=150, 5×10×3=150

倍指向では「何かおかしい」のですが,そのおかしさを,どのように理解すればいいのでしょうか.
現在の学校教育において,正解とみなされる式があと4種類あって,それらと比べると,違いが見えてきます.*1

  • 10×3=30 30×5=150
  • 3×5=15 10×15=150
  • 10×5=50 50×3=150
  • 5×3=15 10×15=150

ここまでの式のすべて,またはそこから選抜したものが,学習指導案に「予想される児童の反応」などとして書かれることになるのでしょう.そして10×3×5=150に一本化して検討を深め,乗法の結合法則,すなわち「かけ算は,かける順番が違っても,同じ答えになる」を学習するのが,自然な流れであるように思います.
さてこれらのうち,「10×3=30 30×5=150」は,「10×3×5=150」あるいは「(10×3)×5=150」と等価です.まず「10×3=30」によって,1列の金額を求めており,同じ金額なのが5列あるので,「30×5=150」とします.
もう1種類,式を取り出しますと,「3×5=15 10×15=150」は,「10×(3×5)=150」と等価です.このとき「3×5=15」は,10円玉の枚数を求めることになり,10円玉がその枚数だけあるから,「10×15=150」です*2
より細かい検討をするため,当雑記では久しぶりに,数教協スタイルで書いてみます.すなわち式に単位を付け,パー(「/」)書きを認める書式です.したがって,大人のトークです.それはさておき,総合式と分解式は,例えば次のようになります.

  • 10×3×5=150は,10[円/枚]×3[枚/列]×5[列]=150[円]と表せます.(※)
  • (10[円/枚]×3[枚/列])×5[列]=30[円/列]×5[列]=150[円]です.*3
  • 分解式だと,10[円/枚]×3[枚]=30[円].これを30[円/列]と読み替えて,30[円/列]×5[列]=150[円]です.
  • 10[円/枚]×(3[枚/列]×5[列])=10[円/枚]×15[枚]=150[円]です.
  • 分解式だと,3[枚/列]×5[列]=15[枚] 10[円/枚]×15[枚]=150[円]です.

3と5を入れ替えた,正解とみなせる他の式も,同様に書くことができます.このとき,初期時点・中間状況・最終的な計算結果に現れるどの名数も,問題の場面あるいは図の中で,それが何を表すのかを示すことができます.中間状況の名数というのは,「30[円/列]」「15[枚]」のことです.
ここで,「何かおかしい」と書いた式の一つ,3×10×5=150だと,どうなるか,見てみましょう.

  • 3×10×5=150を,(※)を使って,3[枚/列]×10[円/枚]×5[列]=150[円]と表すことにします.*4
  • 3[枚/列]×(10[円/枚]×5[列])=3[枚/列]×50[円列/枚]=150[円]ですか?
  • 分解式だと,10[円/枚]×5[列]=50[円列/枚]って何これ?

この場合,「50[円列/枚]」が何を表すのか,計算手続きはどうなるのか,説明が難しくなりそうです.
3×10×5=150を正しい式とみなすためには,「1あたり量×いくら分=全体量」に加えて「いくら分×1あたり量=全体量」をかけ算の式として認めること*5,そしてこのいくら分には割合(「何倍」)も認めること,この2つを要請します.後者は,無頓着派で3[枚]×10[円]×5[枚]と表記し計算すると,積の150に添える単位として,[円]以外に[枚]も考えられ,この曖昧さを除外する必要があるためです.
そうすると例えば,「何倍」のところは無名数として,3×10[円]×5=150[円]と書けます.
より多い前提条件を課して,その割に,結合法則の楽しさや有難みを理解するには至れません.「(3×10[円])×5=30[円]×5=150[円]」と「3×(10[円]×5)=3×50[円]=150[円]」の間に,本質的な違いがあるのでしょうか?
1回の授業で,これまで学んだ中で何を使って(ときには組み合わせて),新たに何を学んでほしいか,学んだことを今後どのように活用してほしいかを考慮すると,到底,そのアプローチには賛同できません.

関連:

*1:「式1, 式2」を「式1や式2」と読み,「式1 式2」を「式1としてから式2」と読むのは,スタイルシート(CSS)の書式をもとにしています.

*2:この2位数どうしのかけ算ですが,「10×15=15×10=150」として,交換法則と,何十をかける計算,いずれも計算の性質を活用して,暗算で計算できます.このことを念頭に置くと,五円玉でも百円玉でもなく,十円玉を使うのが妥当に思えます.

*3:3日後に追記:パー書きの名数どうしのかけ算について,気味の悪さを感じていたのですが,『人文的数学のすすめ』p.24に「[km/L]×[L/百円]=[km/百円]」として,2つの比例定数を合成して新たな比例定数を得る事例を発見し,とりあえず違和感は解消しました.

*4:別の解釈として,交換法則を名数の間で認めることにすれば,10[円/枚]×3[枚/列]×5[列]=3[枚/列]×10[円/枚]×5[列]となります.

*5:3×5×10=150, 5×3×10=150を正しい式としたければ,「1あたり量×いくら分=全体量」ではなく「いくら分×1あたり量=全体量」をかけ算の式として認めるというのでもかまいません.乗数先唱です.まあ,学校教育から遠のくことになるのですが.