本日は，「かけ算」に関連して見かけた，2つのPDFファイルを取り上げたいと思います．
長方形の面積
- 伊藤隆: 長方形の面積の公式における「縦×横」の変遷と多様性について, 群馬大学教育学部紀要 自然科学編, Vol.57, pp.5-14 (2009). http://hdl.handle.net/10087/4713
無料でダウンロードできます．図や史料が多いので，全文に目を通すことをおすすめしますが，関心を持ったところを手短に*1紹介していくことにします．
素朴な疑問として，「長方形の面積の公式はなぜ『たて×よこ』なのだろうか」があります．
そうすると，次の疑問は，「『よこ×たて』でもいいんじゃないか」としたいところ．
なのですが，この論文の最初の2ページを読むと，そうではなく，「英語ではLength×Widthと表せるが，このLengthが『たて』，Widthが『よこ』になるのだろうか」となります．
その疑問の答えは，“否”です．長い方がLength，短い方がWidthです．実際，"Total No. of squares ＝ No. of squares on the longer side × No. of squares on the shorter side"とあり，ここから"Area ＝ Length × Width"を得ています*2．
20か国の人々に，長方形の求め方を聞いた結果が，p.8に書かれています．表にしました．
| 名称 | 式 | 国 |
|---|---|---|
| 縦横方式 | 縦×横 | 日本、アイルランド、ベトナム、ウズベキスタン、タイ |
| 横縦方式 | 横×縦 | スペイン、韓国、南アフリカ、チリ |
| 長短方式 | 長×広 | アメリカ、イギリス、ガーナ、インド、シリア、インドネシア、スウェーデン、パキスタン、イタリア、トルコ、中国、セネガル |
「長」「広」はそれぞれ，Length，Widthの訳です．同じページの下方で，明治時代の翻訳教科書の中に「長」「廣」という言葉が出てきます．
国名を見ていったとき，地理的に近く言語も似通っているとされる，日本と韓国が，縦横方式・横縦方式と異なっている点に，興味を持ちました．縦横ではなく左右の話ですが，車の左側通行・右側通行が関係しているのかなと思い，wikipedia:対面交通を見てみましたが，さすがに関係なさそうです（イギリスは，左側通行ですが，長短方式に入っています）．
長方形の面積にまつわる，もう一つの素朴な疑問は「長方形だと『たて×よこ』，なのに平行四辺形では『底辺×高さ』，これってどういうこと」でしょう．実は私自身が，この疑問を認識するようになったのは，http://blogs.yahoo.co.jp/tamusi22/35513225.htmlの，ブログ主さんのコメントを読んだときなのです．
論文では，3節で明治以降の教科書，4節で和算を見ながら，表記を提示しています．そして5節で，縦横方式・横縦方式・長短方式それぞれの長所を挙げています．
長方形と平行四辺形の関係については，次のように答えを示しています．
では、長方形の面積の導入には横縦方式が最も適しているのであろうか。確かに平行四辺形や三角形の面積への自然な移行を考えると、横縦方式が理に適う。それでは何故、日本では、明治期、長短方式をやめ、縦横方式を採用したのだろうか。前節で述べたように、当時長方形の直角を挟む二辺に当てられていた漢字は、和算で用いられた長平、長幅、長寛、縦横などであった。和算では、“長”（振り仮名はナガサ）と書けば、長い方の辺を意味するわけだが、日常生活では、ナガサという言葉から長いという意味は出てこない。ナガサ×ヒロサもしくはナガサ×ハバすると一般には、どれとどれの積であるか不明になる。ナガサ、ヒロサに代わるものとして、明治35年国定教科書制度設置に際し、日常生活でも用いられ、児童にも受け入れやすい言葉である（和算における縦横ではない）“たて”と“よこ”が採用されたのではないだろうか。そして、語順も慣れ親しんでいる“たてよこ”の順になり、“よこたて”ではない縦横方式の導入がなされたと考える。
(p.12)
とまあ書きましたが，学校教育としては，単位正方形の個数から，「長方形の面積＝たて×よこ」を公式とし，「よこ×たて」でもいいよねと確認して，平行四辺形の面積の公式へともっていくのかなと思います．「かけ算の順序」の件と同様に，「面積の式はね，外国では…」と話すネタにもなりそうです．
数直線でかけ算わり算
「オンラインブック版」のPDFを読みました．Ver.2012-02-21です．
数学的に考えると，なるほどなあと思うところも多々ありますが，算数教育として見ると，この内容には賛同できません．
もっとも対比しやすいのが，pp.106-107です．数直線に対して「この《＜長さ＞との同型を間に挿む》が，無用なプロセスになる」と評し，比例関係に基づく可換図式を「本質的」としています．
何に賛同できないのかというと，その“本質化”では，子どもたちの学習に不可欠な，数や量の感覚が，抜け落ちてしまうことです．数の話で言えば
- 1より小さい数をかけると，もとの数よりも小さくなる
- 1より小さい数で割ると，もとの数よりも大きくなる
が思い浮かびますし，もう少し実用的な場面を想定するなら，
- このままのペースで歩いていると，時間までに目的地に着けない．小走りで行こう
といったときに，なぜ小走りだと間に合うのか，またどれくらい速めれば，何分で到着できるのかの見積りが，できるようになりたいものです．
ウォーキング用・ランニング用の速度計なんてのがなくても，何秒でどこまでの道のりを移動したかをもとに，速度が概算できます．速度は身近であるのと小学校で学習するから，例にしたのであり，これは，風呂の水が溜るまでの時間，単純作業の進捗管理などにも応用できます．
ちょっと注意したいのは，1未満の数での乗除算は，計算の性質に関わることですし，小走りにするのは，実は比例ではなく反比例の話です．とはいえ教育の場では，「1より小さい数で割ると，もとの数よりも大きくなる」などは，具体的な数量を用いた（あらかじめ練られた）文章題のもとで，確認されるはずです．後者は，比例や反比例の概念を学習していなくても，速さ・時間・距離の概念とその相互関係を理解していれば，算出や比較ができます．
数学的な土台はよく見えますが，それを除けば，宮下氏のオンラインブックやWebページをもとにした提唱は，『かけ算には順序があるのか』の主張と同レベルで，学校現場での適用には課題が多いなあという印象です．
それはそれとして，このオンラインドキュメントで他に関心を持ったところを，挙げておきます．
- pp.82-83の左上に，「何＝
＝
」とあります．分数を対象とした，乗法の可換法則を使用しています．さかのぼってp.31には，「よって，？＝5/4×3/2」と「よって，？＝3/2×5/4」から，「3/2÷4/5＝3/2×5/4」としています．どうなっているんだと，さらに戻ると，p.13で「記号「÷」は，積が可換な数の系N（自然数，分数，正負の数，複素数，等）において」と，可換性をさらっと書いて，前提としています．倍作用で考える限りは，「時速ａkmでｂ時間」と「時速ｂkmでａ時間」がともに同じ道のりになることは，説明できない，ということでしょうか．
- p.76から始まる，著者による数直線表示では，比の第1用法の図は，数直線の上に書かれる量にも，「1」が添えられています*3．2つの量のそれぞれで「1と見る」必要があるように見えます．また別に，比の第1用法は，比の第3用法に帰着して考えることができる，という解釈の可能性もあります．
