いきなりですが問題です．
T 42×3を，筆算で計算しましょう．（黒板に書く．）C1さん，こっちに来て，書いてくれますか．
C1 はい．3×2＝6（さんにがろく）なので，一の位は6です．繰り上がりはありません．3×4＝12（さんしじゅうに）なので，十の位は2，百の位は1です．答えは126です．
T みなさん，このように書けましたか?
C2 先生，質問です!
T C2さん，どうしたの?
C2 2×3＝6（にさんがろく），4×3＝12（しさんじゅうに）じゃないの!?
さっそくですが元ネタです．
T では，ここで正しいやり方かき方を覚えましょう．
- 先に3と2をかけて6，次に40と3をかけて120だけど，12とかく．下から上にかけます．
- 3の段のかけ算で答えが出てくる．上からやると2の段と4の段のかけ算になってしまうね．しっかり覚えておこうね．
（『整数の計算 (リーディングス 新しい算数研究)』 p.176; 横山秀寿「3年：かけ算(2)」，新しい算数研究 1983年11月号(No.152), pp.45-50.）
「40と3をかけて」と書かれていますが，矢印と，「3の段の…」の説明から，そこは「3×4＝12（さんしじゅうに）」で算出することになります．
C2さんの疑問を，大人モードで表すと，こうです：分配法則を使って42×3＝40×3＋2×3＝120＋6＝126*1になるのだけれど，なぜ「4×3」「2×3」ではなく，「3×2」「3×4」とするのでしょうか．
回答するなら，「かける数・かけられる数がいろいろ変わっても，計算しやすく，混乱（間違え）にくくするため」というのが良さそうです．
- 筆算ではかける数なのに，内部計算の九九だとかけられる数にしているのは，その段の九九だけで答えを出せばよいからです．
- 下の位からかけていき，足していくのは，繰り上がりがあるような筆算に対処しやすいからです．
もちろん，そのように順序を変えてもいい数学的な背景には，乗法・加法の交換法則があります．
全体の計算と，その中の部分的な計算で，被乗数・乗数が逆になる書き方は，英語文献にも見られます．
10. It is possible to perform calculation such as 384 × 673 mentally by rehearsing the subtotals. For example, one can calculate 3 × 384 = 1152 and repeat "1152" mentally until it becomes a "chunk" which only occupies one short-term memory buffer. "Chunking" is a well-documented mechanism by which people can perform mental tasks.
(Handbook of International Research in Mathematics Education p.514; Alan H. Shoenfield: Research methods in (mathematics) education)
この中で，「3 × 384」がどこから出てくるのかというと，計算したいかけ算のかける数，673の一の位が「3」で，かけられる数「384」が，かける数になっています．ただし「筆算」とは書いていません．
ちなみに「10.」というのは，その記事のNOTESの10番目でして，本文でこの番号をつけているのはp.483です．そこでは，"The Magic Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on Our Capacity for Processing Information"*2が引き合いに出され，だけども384×673なんていう，3桁の数どうしのかけ算で，9つのsubtotalなんて覚えられない（普通，暗算できないでしょ），と持っていっています．
筆算の順序というか手順のバリエーションについては，片野善一郎「数学史からみた整数のかけ算・わり算」，新しい算数研究 1980年7月号(No.112), pp.7-10（『整数の計算 (リーディングス 新しい算数研究)』 pp.166-169）に詳しく記されています．当雑記でこの点についての疑問を持つようになったのは，ごく最近でして，数学と教育の協同をご覧ください．
ここに昨日の『「小学算術」の研究』が加わります．緑表紙教科書の編纂に携わった高木佐加枝が，かけ算の筆算について，次のように“かけ方”を述べています．
(略)これすなわち交換の法則である。したがって，筆算の掛算では一般に乗数先唱の九九を用いるのが便利である。
また，次のような場合には被乗数先唱の九九を用いればよいので，場合々々に応じて便利なように九九を活用すればよい．
(p.247)
もう少し前には，制限九九のときと，総九九とで，筆算でのかける方向…総九九の良さを示すために…も記されています．なお，原文では，2つの筆算は横並びです．
（制限九九の場合）
（総九九の場合）
(p.242)
先の引用に「乗数先唱」「被乗数先唱」とありました．これらと関連語を，確認しておきます（不安な人は『かけ算には順序があるのか (岩波科学ライブラリー)』第二章も合わせてどうぞ）．
- 乗数先書：乗数が先，被乗数が後の書き方
- 被乗数先書：被乗数が先，乗数が後の書き方
- 乗数先唱：乗数が先，被乗数が後の言い方
- 被乗数先唱：被乗数が先，乗数が後の言い方
「乗数先書・被乗数先書」については，2012年に「×」から学んだこと（(2) 海外の順序，日本式の順序）で整理しています．ただしどうやら，この言葉のペアは[銀林1975a]以外には見られず，銀林の造語ではないかと考えています．
とはいえ，「乗数先書・被乗数先書」の違いを認識した上でないと，「乗数先唱・被乗数先唱」の違いも認識しにくいのです．すなわち，『「小學算術」の研究』の乗法の意味づけや指導法においては，被乗数先書が大前提であるように見えるのです．
より具体的に書くと，「被乗数先書 & 乗数先唱」と「被乗数先書 & 被乗数先唱」とを比較すれば，後者のほうが良いのだ，そして緑表紙でもその方針を採用したのだ，ということです*3．根拠になるものを，引用します．
a. 各段の九九を被乗数を一定にして纏めることにすると，この一定な数を冒頭に呼ぶ方が都合がよい。筆算の掛算では，乗数先唱を本体とするが，これは後に指導することで，九九構成の最初においては，被乗数先唱で九九を覚えさせることが，児童心理に叶っている。
b. 国語は，「5円の色紙を8枚」「3を4倍する」というように，被乗数を先にする言い方である．
c. 式に表す場合も 5円×8 というように，被乗数を先に書くのを常とするから，被乗数先唱の方が都合がよい。
（pp.246-247．一部改行を詰めた）
その本の展開としては，九九は被乗数先唱で覚えさせ，その後は「被乗数からでも乗数からでも，いずれから先に唱えても差支えないように指導する」とあります．続いて，例として3行4列のアレイを提示し，縦並びに着目すると3×4＝12，横並びに着目すると4×3＝12，「甲乙はないのでどちらでもよいのである。これすなわち交換の法則である」として，上述の筆算の“かけ方”につながっていきます。
現在の算数指導もまた，「被乗数先書 & 被乗数先唱」です．もちろんそれらの言葉は，授業において（おそらく教師用指導書などにも）見られません．「2×30g＝60g」や「テーブルの数×4＝人数」*4といった，基準量や1あたり量が乗数になるように見える形でも，数量関係の知見を取り入れれば，「30」や「4」のほうが，かける数です．
九九の学習において，乗数先唱の概念は「昔はね…」です．筆算も乗数先唱ではなく，全体としてはかけられる数・かける数の役割を，内部計算では逆にし，効率良く処理していくわけです．
ここで最後に，図をお見せします．
他の本でも，目にしたことがあります．
この問題を最初に見たときは，百ます計算の対抗くらいに思っていました．
しかし，筆算を念頭に置くと，また別の意義が浮かんできます．これは，中軸になる数を「かけられる数」，その外にある数を「かける数」として，いろいろな方向に「かける」ことができるようになってほしい，という出題意図になっています．筆算の素地指導なのです．
*1:これに対応する分解式すなわち「40×3＝120 2×3＝6 120＋6＝126」が，p.175で反応の一つとして書かれています．
*2:wikipedia:ジョージ・ミラー，http://www.mendeley.com/research/the-magic-number-seven-plus-or-minus-two-some-limits-on-our-capacity-for-processing-information/
*3:なお，黒表紙あるいはそれ以前において，「乗数先書」と「被乗数先書」との比較が行われていたのかどうかは，分かっていません．
