1. ここがデタラメ 「かけ算の正しい順序」
この全文，そしてそのブログの各記事を見まして，「かけ算の順序」を持ち出して批判する人々が，次にどんな行動をするだろうかと，考えました．
思いついたのは次の3つです．
- 海外展開
- コンテンツの管理，配布の円滑化
- 続刊
それぞれ，もう少し詳しく説明します．教科書を通じた日本の算数教育への批判は，じきに限界に達し，「海外展開」になるだろうなと，想像したのでした．ある人々は洋書（英語に限らず）を紹介しはじめ，別の人々は「かけ算の順序」の問題点を英訳し，海外に向けて情報発信していく，という次第です．このトピックに関する英語のブログやフォーラムも，開設されるかもしれません．
「コンテンツ」とは，教科書や書籍・資料などです．現状，出典を記せば，使い放題な面があります．引用・転載のルールをその人々の間で取り決め，また自作の図表についてはクリエイティブ・コモンズ(CC)・ライセンスなどを示すようにして，再利用を促すとともに，重要な課題の発見者，問題解決の立役者を，リスペクトする流れができないかと思っています．
「続刊」は，『かけ算には順序があるのか』に続くものです．
自分はというと，手持ちの本を見直すとともに，買い足して読んでいき，文献どうしの照合を，マイペースにやっていきます．海外や過去と比較した上で，日本の算数はどうあるのか，これからどうなっていくといいかを，もう少し明瞭に，していきたいところです．コンテンツについては，これまで作ってきたいくつかの絵について，CCをつけていきますか…．
ところで，冒頭の記事にリンクしたのは，「かけ算の順序」に対する批判の象徴的なものであるのに加えて，『『マンガ嫌韓流』のここがデタラメ―まじめな反論 不毛な「嫌韓」「反日」に終止符を!対話と協力で平和を!!』の本を思い出したからでした．
2. 高木貞治，そして量
対話する気なし．ま，いいや．学習者にスイッチし，書誌情報・関連情報を見直しました．
- 足立恒雄: 高木貞治に見る数学思想の変遷, 数学通信, 日本数学会, Vol.15, No.2, pp.6-27 (2010). http://mathsoc.jp/publication/tushin/1502/1502adachi.pdf
- 日本数学会・高木貞治５０年祭記念市民講演会
- はてなブックマーク - 高木貞治に見る数学思想の変遷
この文章で，主要な役割を演じているのは，「量」です．
さて，洋の東西を問わず…というのは言い過ぎなので，我々がアクセス可能な範囲で，先達が「量」をどのように認識してきたかについては，「見取図」が作られています(倉賀野1984, p.27)．
もちろんこの図が完成形，ではありません．実際，この図では高木貞治の名前が見当たりませんが，おそらく著者は，現在なら文庫本で入手可能な『新式算術講義』をはじめ，高木の著書にアクセスできなかったのでしょう（南雲道夫の論文には，高木の著作が参考文献に入っていますが）．
「量」と算数・数学教育の中で，もう一つ思い浮かぶのは，Vergnaudの文献です．「a×b＝x」の構造を示す，2種類の図です(Vergnaud 1983, p.130)．
その前のページには，"two measure-spaces M1 and M2"と書かれています．measure-spaceは「量空間」と訳すのがよく，中原2000, p.187においても，この語が使われています*1．
図の前後の本文を，直訳ではなく自分なりに解きほぐしていくことにします．以前にも少し書きましたが，今回はその詳細版です．
まず，「1個15セントのケーキを4個買います．いくらになりますか」という問題を考えます．aを15セント，bを4個とします．xは60セントであって，60個ではありませんね．SCHEMA 5.2, 同5.3とも，M1はケーキの個数の量空間，M2は金額の量空間です．
SCHEMA 5.2の考え方では，M1で1個から4個になるのを「×b」とします．同じ量空間における「b倍」を，M2へ適用することで，a＝15セントの「4倍」がx＝60セントになるわけです．
このとき，「×b」のbは，もはや「4個」ではありません．あえて量という言葉を使うなら，無次元量です．
SCHEMA 5.3は，横に見る関係といえます*2．1個だと15セント，という関係を「×a」で表します．そうすると，4個だと，「×15」とするので60セントです．
ちょっと注意したいのは，この場面での「×15」は，数だけ見れば15倍ですが，実際には，M1という量空間からM2という量空間へ変換しています．あるいは，「×a」が，M1とM2という2つの異なる量空間の仲立ちをしている，と考えることもできます．
このとき，「×a」のaは，これまた「15セント」ではなく，「15セント/個」とするほうが，より適切でしょう．言葉にすると，「1個（あたり）15セント」です．
量空間は，数学的に定義しているわけではなく，同じ性質の集まりという程度なのでしょう．その一方で，数学的な取り扱いでの「量」だと，連続量が対象とせざるを得ないところ，Vergnaudの議論では，ケーキの数や金額など，分離量も視野に入れています．
何に依拠するにしても，一長一短があるといったところで．
（最終更新：2013-01-18 朝）
*1:同一の図（というか表）もあります．Vergnaudの別文献をもとにしていますが，算数・数学学習におけるわり算に関する研究, p.9でも，同様の関係を見ることができます．
*2:比例を含む2つの数量の関係は，2行任意列の表を作るのが一般的です．その際，行ごとに同じ種類の情報，すなわち同じ量空間の要素を書きます．そうすると，「縦に見る関係」として，考えることができます．
