「かけ算はかける順番が変わっても，答えは変わらない」という主張を，改めて考えてみることにします．
3に5をかけると，3×5＝15です．5に3をかけると，5×3＝15です．3×5＝5×3は，乗法の交換法則を表した式となります．
別の「順番」もあります．2×3×4をどのように計算すればいいかです．まず，2×3＝6，6×4＝24とすることができます．あるいは，3×4＝12としたあと，2×12＝24となります．これは（2×3）×4＝2×（3×4）と表現することができ，結合法則と呼ばれます．
いまの（日本の）小学校の算数では，交換法則・結合法則の式表現，乗法に限ると
交換法則：□×△＝△×□
結合法則：□×（△×○）＝（□×△）×○
は，第4学年で「四則に関して成り立つ性質」として，まとめることとなっています．ただし学習指導要領とその解説を読むと，交換法則・結合法則はそれよりも前にも現れます．第2学年では，加法に関して成り立つ交換法則や結合法則を学習します．また乗法の交換法則は「乗数と被乗数を交換しても積は同じになる」として第2学年で学習することとなっています．乗法の結合法則は第3学年です．
結合法則の図示，というのは，交換法則の図示ほど簡単でないように見えます．例えば『新編算数科教育研究』pp.39-40では，ペアノの公理系に基づく乗法の定義のところでは，結合法則，分配法則，交換法則が「演繹的に証明される」と書かれているのに対し，直積に基づく集合論的な立場では，アレイ図を提示し，「交換法則が成り立つこともあきらか」「分配法則が成り立つことも証明できる」とあるものの，結合法則への言及はありません．
交換法則は2つの値（または文字）を使った関係なので，長方形の面積で表せます．分離量だと，タイルの枚数です．結合法則は，3つの値または文字を使った関係なので，立体にしましょう．キューブの個数を算出します．
『Help Your Kids With Maths』には，次の図があります(p.161)．
縦・横・高さの値が異なる一つの直方体を回転させることで，a×（b×c），b×（a×b），c×(a×b）のいずれの式でも，キューブの総数を計算でき，どれも等しいことを表しています．
他の本を見ます．Anghileri＆Johnson (1988)のFIGURE 6-23 (p.179)は，The Associateive Propertyを示すための図として，次のように描かれています．
しかし，この図には，引っかかりを覚えます．というのも，かけられる数とかける数の区別が曖昧なように見えるのです．
この図をもとに，自分なりに3×（4×2）を作図してみました．
「3×4×2」の直方体では，式にカッコすなわち計算の順序を，入れないことにしました．
その一方で，「3×（4×2）」の式に対応する構成では，3次元という枠を外しました．3個の横並びの立方体を「一つ分」とみなして，それが4×2（縦4つ，横2つ）の長方形の配列として，表してみた次第です．
細かいことをいうと，「3×（4×2）」として表した図は，「3×（2×4）」と読むこともできます．長方形は縦横の，直方体は縦横高さの，実質的な区別がないと見れば，これは致し方ありません．
それと，Anghileri＆Johnson (1988)の図のあとの練習問題(p.180)では，結合法則を使って計算を効率良くする出題が2問あります．その2番目「5×17×2」のヒントには「(Hint: use the commutative property as well.)」として，交換法則も使いなさいと書いています．概念としては別だけれど，交換法則と結合法則を合わせて，「計算の順序」に関する性質であることを，補強している事例となっています．
ここで，交換法則と結合法則を合わせたものが，「計算の順序」に関する性質である，と認識することにしましょう．複素数の範囲までで，加法と乗法はそれぞれ，計算の順序を変えても答え（和，積）は同じになります．減法と除法では異なってくるので，それらでは，計算の順序を変えられない，と言うこともできます．
高木貞治が1904年に著し，我々は文庫本で読むことのできる『新式算術講義 (ちくま学芸文庫)』には，「加法及乗法は組み合はせの法則及交換の法則に遵ふが故に，多くの数を加へ又は乗ずるに当りて，其順序を如何様に変更するとも結果は常に同一なり」と記されています(p.31)*1．このうち「組み合はせの法則」とは，結合法則のことです．
小学校で，乗法の結合法則をどのように学習しているかですが，3年で直方体の体積を扱えません*2ので，別の道具立てが必要となります．
以下に紹介する2つの事例はともに，お金の問題にしています．合計金額を算出するのに，2通りの方法をとって，どちらでも同じ答えを得る，という流れです．
まずはWebで読めるものから．第３学年 算数科学習指導案（平成18年10月24日，調布市立杉森小学校）では，「1こ90円のシュークリームが、1はこに3こずつ入っています。2はこ買うと、代金は何円になるでしょう？」を，今日の問題としています．
シュークリームの数を求めてから，全部の代金を求めるのが，3×2＝6，90×6＝540で，これを90×（3×2）＝540と表すことができます．1箱の代金を求めてから，全部の代金を求めることにすれば，90×3＝270，270×2＝540となり，これは（90×3）×2＝540です．
そうして90×（3×2）＝（90×3）×2を導き，「かけ算はかける順番がかわっても、答えは変わらない」とまとめています．
自力解決の段階で，「90×2＝180，180×3＝540」という式も，予想される児童の反応として書かれています．しかしこれには「机間指導する」ともあり，この授業では，間違いとみなしています．
もう一つは，書籍からです．『小学校算数 板書とノートを変えると子どもが伸びる』p.50に書かれている授業では，「1こ60円のおかしが1はこに4つ入っています。このはこを2つ買うと，代金はいくらですか」という問題を提示しています．目指すのは「（60×4）×2＝60×（4×2）」です．そのプロセスの中で，「4×2×60は問題場面に合わない」としています．
これら2つは，3年生の，乗法の結合法則を学習するための授業であるとともに，交換法則（□×△＝△×□）を使用しないということでも共通しています．交換法則の考え方を排除し，「1つ分の大きさ×いくつ分＝全体の大きさ」を用いて，□×（△×○）＝（□×△）×○の一例を得ることができた，と言うこともできます．数学的にも，『新式算術講義』では分配法則を証明してから，結合法則・交換法則を別々に証明していることと重なります．
本日の記事は，かけ算の順序，計算の順序のうち，結合法則・交換法則に関するものを取り出した内容となっています．再構成を図ったのは，次のツイートを見かけたからです．
ここに[twitter:@sankunanaku]さんのお名前を書いて，リプライを送ることにします*3．
（最終更新：2013-04-24 深夜）
以下のとおり，大きな変更をしています（大意は変わりません）．
- 脚注で，Perlほか，プログラミング言語を対象とした文字列のかけ算（繰り返し）を書いていたのは取り除きました．もう一つのブログで，Perl，Python，Rubyで「"3"かける5」を公開しました．
- 「交換法則と結合法則を合わせたもの」や，『新式算術講義』の言及（2つの段落）は，結合法則の図示のあとに移動させ，いくつか表現を修正しました．
最初のバージョンは，ウェブ魚拓よりご覧ください．
*1:これは0を含む自然数を対象としたもので，無理数（実数）を対象とした乗法の交換法則・結合法則は，同書p.284で示されています．その際，比例式γ:α＝β:1を満たすγを，α，βの積として定義しています．
*2:単位正方形の個数によって長方形・正方形の面積を求めるということですら，第4学年の学習事項です．
*3:ブラウザで当該ツイートを見ると，自己参照の形で2つのツイートを見ることもできます．合併と増加が違う件は，途中で引用した『新編算数科教育研究』では他の演算についても，減法は「残り」と「ちがい」，乗法は「倍」と「積」，除法は「等分除」と「包含除」と大別し，四則計算の意味を表にしています．足し算の結合律の話は，1960年代の米国のかけ算に関する論争を紹介しながら，中島健三が記した「結論として，こどもは，具体的な経験をもち，それを一般的化していくのであって，最初の学年水準での一般化は，必ずしも，数学者の論理性に合致する必要はない」が関係するように思います．
