いきなりですが問題です．
5÷3は，いくつでしょうか?
これって，小学校の算数ですね．とはいえ，小学校で学習した中でも，答えは何通りか言うことができて，分数にするなら，だとか，帯分数にして
だとか．小数で表すなら，1.666…ですね．
あまりのあるわり算だったら，商は1で，あまりは2です．「5÷3＝1…2」と書いていたのでしたっけ．
ここでは，商とあまりを求めることを，前提とします．わる数もわられる数も，商もあまりも，整数です．
といったところで本題です．
-5÷3は，何あまり何でしょうか?
わられる数がマイナス，というのは，中学校で，学習したでしょうか．
-5÷3については，商とあまりの組み合わせの候補が，2つあります．数直線を使うと，その違いが分かりやすくなります．
ひとつは，商を-1にします．原点から-5にたどり着くために，3を「-1倍」するというわけです．左方向に，いち，おしまいです．にぃ，と行ったら-5を越えてしまうので，行きません．
なのですが，いち，でたどり着いた地点は-3です．-5には届いていません．-5に行き着くために，「-2」をたします．式にすると，3(-1)+(-2)＝-5となります．
ということで，「商は-1，あまりは-2」とするのが，商とあまりの候補の1組目と言えます．
別のアプローチは，商を-2にします．原点から-5に行き着くために，3を-1倍するのでは届かないので，「-2倍」します．左に，いち，にぃ，ですね．すると，-6に来ます．-5を越えてしてしまいました．
そこから-5に行くには，1だけ右へ行く…「1」をたせばいいわけです．
式だと，3(-2)+1＝-5です．2番目の候補は，「商は-2，あまりは1」です．
どちらが正しいのでしょうか? どちらを採用すべきでしょうか?
整数÷整数という式で…ただしわる数は0ではないものとします，そして，わられる数もわる数も，プラスでもマイナスでもいいとしますが…「商と剰余の基本要件」というのが定まります．a を b で割ったときの商が q，あまりが r のとき，次の2つをともに満たすことです．
- a＝bq+r
- 0≦|r|＜|b|
縦棒2本は，絶対値の記号です．
1つ目の式，a＝bq+rは，中学校で学習したのではないでしょうか．マイナスの数になっても，この等式は同じです．
2つ目の式は，aもbも正だったら，絶対値記号がそのまま外せます．しかしbが負の数だったら，そうもいかないので，絶対値をつけておきます．なお，0≦|r|の等号が成り立つときというのは，r＝0で，これは，aがbでわり切れることに対応します．一方，右側の不等号は，「≦」ではなく「＜」です．r＝±b，とはならないからです．
-5を3でわったとき，「商は-1，あまりは-2」「商は-2，あまりは1」は，いずれもこの基本要件を満たします．
そして，「商と剰余の追加要件」というのを考えます．追加要件は2種類あって，どちらかを採用します．そしてそれによって，商とあまりの組み合わせが1つになります．
追加要件の1つは，わり切れない場合，わられる数とあまりの符号を同じとします．
わり切れる場合も合わせて，言うと，わられる数が正なら，あまりは0以上となり，わられる数が負なら，あまりは0以下となります．
これは，GCCや多くのCの処理系で採用されています．
この追加要件を採用するなら，-5÷3の「商は-1，あまりは-2」です．
それと別の追加要件は，aが0より大きいか小さいか，bが0より大きいか小さいかにかかわらず，rは必ず0以上，です．先ほどの絶対値記号のうち，rのほうを取り除いて，0≦r＜|b|となります．
RSA暗号アルゴリズムを手計算で考える際には，こちらを採用します．
そしてその場合，-5÷3の「商は-2，あまりは1」となります．
どちらが正解，どちらが間違いというのではなく，条件が緩ければ，その条件を満たす答え（商とあまり）が複数考えられ，厳しくすれば，ひとつに定められる，ということだったのです．
それぞれの整数を3でわったときのあまりを，数直線に乗せると，次のようになります．
数直線の下の数値は，0の近辺の整数です．実際には，もっともっと左にも右にも伸ばせます．数直線の上の数値のうち，上の段は，追加要件の先に書いたほう，わられる数とあまりの符号が同じというときの，あまりです．下の段は，追加要件の2つめのほう，あまりは必ず0以上という場合です．
青の数字は，わられる数が正負関係なく，0，1，2，0，1，2，となっていますね．わる数bが任意の正の数であってもこれは成立します．こういうのを，整数全体の集合を，b個の剰余類に分けると言います．
Cのプログラムで，負の数aを正の数bで割ったときに，2番目の追加要件を満たすよう，常に非負の余りを得るには，どうすればいいでしょうか?
わられる数の符号を取り除いてから，わり算してあまりを出すというのは，ダメです．5÷3のあまりは2なのに対して，-5÷3のあまりは，-5＝3（-2）+1に注意すると，1でないといけないからです．
式はいろいろ書くことができますが，(a%b+b)%bが一番単純でしょうか．%はCの剰余演算子です．aに-5，bに3を代入して，確かめてみますと，(-5%3+3)%3＝(-2+3)%3＝1%3＝1となります．
外側の「%b」は，aがbでわり切れる場合に0にするため必要で，これがないと，-6を3でわったときのあまりが，0ではなく，3になってしまいます．
