1. ②②②②②と⑤⑤
[isbn:9784491025223:detail]
今から見ると，やや古い本です．編著者は横浜国立大学教授ですが，実践編執筆者一覧を見ると，「小松市立」（石川県）の小学校を所属としている先生方が多くあります．
さて…第2学年「かけ算(1)」の指導展開構想(p.50)の出だしに，びっくりさせられました．
1. 考える足場をつくる
T:答えを求める式が2×5になるもんだいをつくりました。どちらの問題が正しいですか。《みらいさん》みかんが１さらに2このっています。5さらあります。みかんは、ぜんぶで何こになりますか。
《つばささん》みかんがのっているさらが2さらあります。1さらに5このっています。みかんはぜんぶで何こになります。
C:みらいさんが正しい。図でかくと、②②②②②になるのはみらいさん。つばささんだと、⑤⑤になる。
C:2個のまとまりが5つ分という意味だからみらいさんが正しい。つばささんだと、5このまとまりが2つ分になる。
T:かけ算の式から、もんだいを作る時は、同じまとまりの数に気をつけて作ることが大切ですね。
これまで見てきたものと比較すると，2×5，5×2となる一対の文章題を提示しているのは，東京書籍の教科書です．また2人が作ったという問題を見て，式に合うのを選ぶのは，大日本図書の教科書にあります．
それで，びっくりしたのは何かというと，最初の児童の発言です．「②②②②②」「⑤⑤」表記しているところです．
もちろん「マル2」などと発言しているわけはなく，「この図のように」とするか，または「2こ，2こ，2こ，2こ，2こ」，もっと減らして「2，2，2，2，2」と言うことが考えられます．「⑤⑤」は，「5こ，5こ」もしくは「5，5」です．
図は本文中にありませんが，ひとりブレストして，いくつか作ってみました：
いずれも，みらいさんのほうは，たし算の式にすると2＋2＋2＋2＋2，かけ算の式にすると2×5なのに対し，つばささんのほうは，たし算は5＋5，かけ算は5×2です．
最後の長方形型配置については，その逆も言えそうです．すなわち，どちらも，2＋2＋2＋2＋2，2×5であり，5＋5，5×2であるという主張ができそうです．
かつて，そのように配置にすることは，積指向であると認識していました．今回の図示を通じて，長方形型に配置するという操作により，答えを得るべき対象を，特殊化していると感じるようになりました．
その種の特殊化---与えられた問題に対し，特殊な場合を考えること---には，連想するものがあります．
塾で，生徒の席（長机だったなあ）に座って，問題を解く側から，先生用の座席に替わって，生徒が問題に取り組む姿を見る側になって1か月くらいしたときのこと，塾長が部屋に入ってきまして，生徒も先生も解いてくれと，紙を持ってきました．
型・形
この「とんがっている」7箇所の角の和を求めなさいというものです．
生徒は，高校3年生3名です．早々と投げ出していました．高校の数学では，この種の問題は出そうにありませんからね．
スマートでなくても何か解き方があるかなと，その場でひねり出しました．具体的には，7点を正七角形として，線で結び，一つの角の大きさを求めれば，その7倍で答えが出せるだろうというものです．苦労して，授業時間内に解きました．後日，大学の友人に見せたら，補助線を引いたスマートな解法を教えてくれました．なんだけど，今，その補助線が見えてこないなあ．
正七角形をもとにした図形を使うのが，特殊化にあたります．その方法によって求めた値が，正七角形でない形でも等しくなることを，確かめないといけません．
答えとなる値が変わるような特殊化として，確率の問題があります．
- 2個のサイコロを振った．そのうちの一つが偶数のとき，もう一つが奇数である確率を求めなさい．
は，条件付き確率に注意すると，確率は2/3となります．
- 大小1個ずつ，2個のサイコロを振った．そのうちの一つが偶数のとき，もう一つが奇数である確率を求めなさい．
という特殊化を行っても，同じく2/3です．しかし，
- 大小1個ずつ，2個のサイコロを振った．大きいほうのサイコロが偶数のとき，小さい方のサイコロが奇数である確率を求めなさい．
とすると，これは独立な事象なので，1/2です．ここで確率が変わったのは，「大きいほうのサイコロが偶数のとき」は「そのうちの一つが偶数のとき」の一部だけれど，それと同値ではないからです．
みらいさんの作った問題について，上記の指導展開構想では「5×2」のみであることが読み取れます．一方，かけ算の順序を批判し，長方形型配置の図にできるという主張に基づくと，「5×2」も「2×5」も，その場面を表す式だとなります．他の図と比較したとき，2つのかけ算の式が得られるのは，特殊化をしたからではないか，となります．
ともあれ小学校の授業では，数える対象を長方形型で配置しても，皿のグルーピングがあるために，5＋5や5×2とする可能性はなさそうなのですが．
2. ABC，ABC，ABC，ABCは，4×3＝12
[isbn:9784799900475:detail]
タイトルだけ見ると，褒める対象が子どもではなく「算数言葉」となっていますが，その意図は，まえがきの中で「形式的に言語を教えるのではなく、授業の中で子どもとの対話を通して、子どもならではの自然な言葉として育てていくことを願っている。」(p.3)と記されています．
さて，第三章（議論白熱! 算数授業で大事にしたい言葉）の中で，トランプ配りを見かけました(p.110)．
盛山 わり算の導入で「おはじきが□こあります。それを3人で分けます。一人分はいくつでしょう」という問題を出しました。「□こ」と言った瞬間に「答えが出せないよ」とか「どういう意味?」という言葉が出ました。
田中 確かめの言葉ですね。オープニングで問題に対する質問の言葉をマップに加えましょう。条件を確かめる言葉、問題に対しての質問の言葉も必要だということですね。
盛山 子どもたちは「□にいくつ」と数を欲しがりましたが、「Aくん、Bくん、Cくん3人に分けるよ」と、総数が入っている袋から3つの封筒に分けていきました。「先生の動きを見ていて」と投げかけて、（A、B、C）、（A、B、C）、（A、B、C）、（A、B、C）と4回袋に入れたんです。すると、子どもが「わかった!」と言ったので、「どうしてわかったの?」と問い返すと、だって、4回作業したから」「4×3は12だから、はじめの□には12が入るよ」というかけ算の考えに持っていきました。
4回，入れたけれど，式は4×3としています．その意図は，入れ方ではなく，入れた結果に着目させる（『活用力・思考力・表現力を育てる!365日の算数学習指導案 1・2年編』p.66改変）ことでしょう．「Aくん、Bくん、Cくん」それぞれで見ると，おはじきを4個ずつ，そして3人いるから，4個×3人＝12個です．また等分除とみたとき，わり算の式は12÷3＝4，それに対応するかけ算の式は4×3＝12，と解釈することもできます．
実際には子どもは「3×4は12だから」と言ったけれど，先生が「4×3は12だから」に置き換えて授業を進めた，という可能性も否定できませんが…ここは，トランプ配りを用いても，かけ算の式は1通りだけなのですよと，示しているように感じました．その後の展開*1は，筑波の授業でよく目にするパターンです．
3. 4＋4＋3＋4＝15と4＋3＋4＋4＝15
2年生に①の図を見せました。口々に「15だ」。そこで「数え間違いじゃないの?」と問うと、「式にできるよ」という、式を用いて15であることを説明できるという意図の発言でした。4＋4＋3＋4＝15という式を板書すると、一人の子が、右から順に図を指さしながら式の説明をしました。すると別の子が、「それじゃ反対だよ。」と、4＋3＋4＋4＝15と書き、さらに他の子が図をひっくり返し、その式と図の関係について説明しました。
この後、子どもたちは、二種類の式と図を見比べながら説明し、式は計算をするためだけでなく、図（数）の見方を表すことができるという結論に至りました。
このように一つの考えを式と図という別の表現様式にしてみると、子どもたちにその意味を見比べる必要が生まれます。すると新たな気付きや発言が生まれ、それをきっかけにまた見比べる活動が生まれます。その繰り返しが、考えを共有することに繋がります。
（市村広樹：「式も考えを表す「言葉」です」，『ほめて育てる算数言葉』p.41）
①の図は次のとおり．最初に見せたのは，上の「4個，4個，3個，4個」の囲みだけなのでしょう．
式と図の対応づけとして，興味深い授業の展開だと思います．「4個，4個，3個，4個」と「4個，3個，4個，4個」は違う，ではなく，それらを違うものとして，異なる式に表すことができる，というのが主眼となっています．4口のたし算ですが，2つのたし算にまで減らすとそれは，朝四暮三です．
ただ，式にせよ，この図にせよ，左から右に書くことを，暗黙の了解事項としているところは，少々気になります．図については，マルを，Z型ではなくN型*2で打っていかないといけません．もし，国語の縦書き*3でマルを打っていったのなら，上の図も4＋3＋4＋4＝15とするのが「ずのじゅんばん」となります．
このページの結語は「式も、算数の言語の一つです。」．この主張は，算数教育の実践について本で読んできたことと合致し，近年の（学習指導要領改訂に基づく）「言語活動」「算数的活動」に即したものと言えます．その一方で，例えば- 「掛け算順序固定」問題対策本部 - アットウィキの主張と競合しそうな点は，配慮しておきたいところです．
4. 段数×3よりも3×段数
『ほめて育てる算数言葉』pp.53-54では，正三角形の規則的な配置をもとに，段の数と増えた辺の数の関係を求めています．例えば次の配置では，段の数は3，辺の数は27ですが，2段の場合と3段の場合を比較すると，増えた辺の数は9となります．
（一）は飛ばして（二）を書き出します．
（二）式の意味を考えさせ，言葉で表現させる
その後，「増えた三角形の数」「同じ大きさの三角形の数」「増えた辺の数」の3つの変わり方を表に書き込み，式に表せるものは表した．③の「増えた辺の数」の変わり方では，「だんの数×3＝増えた辺の数」という式が出た．
「だんの数に3をかけると増えた辺の数になるんだね」
というと，子どもたちは，
「なんかおかしい」
と言い出した．すると，
「『だんの数』と『増えた上向きの三角形の数』が同じになる」
とある子どもが言う．そして，
「だったら『3×だんの数』の方がいいんじゃない?」
と式の意味を理解した発言が出たので，みんなで確認した．
p.54下段の表と言葉も，見ておきましょう．
「だんの数×3＝増えた辺の数」「3×だんの数＝増えた辺の数」がともに，関係を表した式となるのは，Vergnaudの解説をもとに確認することができます（次のステップ，2×30g）．「だんの数×3＝増えた辺の数」のうち「×3」は，“だんの数”という量空間と“増えた辺の数”という量空間とを（乗法的に）結びつける関係であり，表で言うと，上下の行を結ぶ矢印と「×3」によって視覚化されています．それに対し「3×だんの数＝増えた辺の数」については，3を基準量とし，段の数が増えればそれに応じて（乗法的に），増えた辺の数も増えます．表では，横方向につけられた矢印と「×2」「×3」「×4」「×5」が対応します．
とはいうものの，子どもたちは「だんの数×3＝増えた辺の数」はおかしいと言い，「3×だんの数＝増えた辺の数」の方がいいと進んでいきます．
違和感（おかしさ）の正体は，かけられる数と積の単位（もしくは量空間）が異なるところです．単位をつけるなら，例えば「だんの数[段]×3[本/段]＝増えた辺の数[本]」とできますが，かける数が1あたりになる---「1あたり量」でかけ算を学習していないとしても---という認識が難しいのではないか，と想像します．
Vergnaud (1983)に依拠している，『算数・数学科重要用語300の基礎知識』p.187でも，表の中では「×a」と書く一方で，式は「〔求める全体量：x〕＝〔単位あたり量：a〕×〔単位のべ量：b〕」としています．
5. まとめ
2009年，2013年に発行された本から，いくつか新たな「表し方」を発見できました．
『ほめて育てる算数言葉』で取り上げた事例は，a×bとb×aとが「違う」と書かれていなくても，「違う」「違いがある」と，読み取ることができました．式に表す・式を読むといった算数的活動の，新潮流になっていくようにも感じました．
（最終更新：2013-07-27 朝）
