ベイズの定理のp(X|Y)とp(Y|X)

インテリジェントウェブアルゴリズム

ある文書作成のため，調べ物をしていました．
取り組んでいる課題で，すべきなのは，クラスタリングではなく分類になるはずです．clusteringではなくclassificationです．多数の対象に対し，“分け方”を決めながら同時に分けていくのがクラスタリングなのに対し，「ボケ」「ツッコミ」「マジギレ」などの“分け方”を設けておき，各対象がどこに属するかを判定するのが分類です．
『インテリジェントウェブアルゴリズム』は，クラスタリングと分類との違いだけでなく，それぞれの具体的なアルゴリズムや利用例も示されていて，ああ確かそうだったそうだったと，復習することができました．
分類の章（5章）に入って，分類器だの決定木だの，ナイーブベイズだのと，言葉を拾いながら読んでいくと，有名なベイズの定理の数式を目にしました．

分類器が計算するのは、観測されたInstance YがConcept Xに属する確率である。これは事後確率（posterior probability）とも呼ばれ、p(X|Y)で表す。この確率は次の式で求められる（ベイズの定理と呼ばれる）。

これまでは、はっきりとした数式の表現を意図的に避けてきた。しかし、この数式は見かけはシンプルだが非常に説得力があり、ナイーブベイズアルゴリズムを使った実装から、ガウス過程やベイジアンビリーフネットワークに基づいた実装まで、数多くの分類器の基盤でもある(略)。もし公式を1つ覚えるなら、この式をしっかりと身につけよう。
(p.184)

文中のこの「公式」は何十回と見ましたが，原文ママです．誤記ですね．これだと両辺をp(X|Y)で割ることができてしまいます．右辺のp(X|Y)をp(Y|X)に置き換え，

と書かないといけません．
この式を得るには，条件付き確率の定義をもとに，p(X∩Y)=p(X|Y)p(Y)とp(Y∩X)=p(Y|X)p(X)を使います．
ただ，この式導出では，p(X|Y)とp(Y|X)が同等のように見えてきます．ですがベイズの定理のもとでは，それらは異なる意味を持ちます．p(Y|X)は引用にもあるとおり事後確率（posterior probability）です．引用のすぐ上に，本文では箇条書きがなされていまして，それによるとp(Y|X)は尤度（likelihood）と呼ばれます．
事後というなら事前はあるのかというと，あって，p(X)が事前確率（prior probability）です．またp(Y)は証拠（evidence）となります．これらの式と用語の対応づけは，wikipedia:単純ベイズ分類器の記述とも合致しています．
といったところで，文書作成に戻りますか…．

昔書いたこと：

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