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1970年代の乗法構造(2)―量と数の理論，比の乗法

OoM

takehikom 2013/01/12 13:48

＞量として一致するのはなぜか．

遠山・銀林らと別アプローチですが，「数」を対象とした加減乗除を既知とし，「量×数」を適切に定義すれば，例えば3mの5倍は3m×5＝（m×3）×5＝m×（3×5）＝m×15＝15m，また同様に5mの3倍は5m×3＝（m×5）×3＝m×（5×3）＝15mとできます。
この中で，「（3×5）」と「（5×3）」のみが数×数（交換法則が利用可能），残りのかけ算は量×数（交換法則は使えない）です。それと，カッコの位置変更は，結合法則ではなく，「量×数」の定義によります。
古い本ですが田村二郎『量と数の理論』を入手してご確認ください。「量×量」についても記されています。もし入手が困難でしたら，高木貞治『新式算術講義』という本もあります。

かけ算の順序 - 青空学園だより コメント

上のように今年1月，コメントしたところ，

で当ブログにリンクされていました．リンクを知ったのは，遅ればせながら今月になってからです．というのも，当ブログ（記事ではなく）にはてブがありまして，そこで「このエントリーを含むはてなブログ」を目にしたからなのでした．
id:nankaiさんが読まれたことは，次のページにも反映されています．

最初の段落に，『新式算術講義』や『量と数の理論』が挙げられています．またその少し上に書かれた式「(U6)8＝U(6・8)＝U(8・6)＝(U8)6」は，冒頭で引用した自分のコメントの式や「数×数（交換法則が利用可能）」の記述と，重なっています．


1970年代に書かれ，かけ算を含む「量の理論」が整理されたものとして，次の書籍・論文があります．

当ブログでは英文から学ぶ，数学者による「かけ算の順序」で見てきています．それと懐古趣味。 - 担当授業のこととか，なんかそういった話題。*1が読みやすいガイドとなっています．
『量の世界―構造主義的分析 (1975年) (教育文庫〈8〉)』と『新式算術講義 (ちくま学芸文庫)』は，上の3つの文献より少し離れたところで，高みの見物をしているかのような本です．『量の世界』は同時期だし，『線型代数』あとがきの参考文献リストにも入っているので，これも1970年代の量の理論に入れても良さそうですが，読み比べた感触として，線引きをしたほうがよさそうです．


量に対するかけ算と，線形性，そして量の構造については，『線型代数』(pp.44-45)で次のとおり明快に記されていました．

(4.1.4) 実数の発生学
量の空間そのものの抽象化として実数体があらわれるのではない．
実在とのつながりを考えると，まず同種類の量の空間Xが意識される．Xにおいては加法が意味をもつが，乗法は，例えば 3秒×4秒，3cm×4cmのように，少なくともXの中の積としては意味をもたない．しかし，Xの二つの元の比を考えると，この比はXに作用する．この作用（倍概念）の合成として，比の乗法が定義される．こうして一つの量の空間Xに対して倍変換の体End(X)が作られ，XはEnd(X)上の線形空間となる．さまざまな量の空間に対するEnd(X)の本質的な同一性を意識するとき，実数体Rが生まれる．
もちろん，今日の数学では普遍的な体Rから出発して公理的に線型空間を定義するが，実際には，量の構造についての認識の（歴史的，心理的な）過程は，まず量の1次元線型空間が，そしてその係数体の抽象としての実数体が，という順序になっている．“量の理論”にとって線形代数がその自然な枠組となるのは，以上のような理由からいっても当然のことである．“多次元の量”の理論が線型代数なのではなく，“1次元の量”から線型代数は始まる．

本日挙げてきた書籍や論文から，輪郭をつかむことのできる「乗法構造」は，量の空間における比の乗法です．*2
ですが，かけ算の式の書き方は，文献によって異なります．『量と数の理論』では，量Uのn倍をU×nと表記していますが，『線型代数』には3×1.5袋＝4.5袋という式*3が見られます．
数学者の著述も，つぶさに見ていけば「かけ算の順序」が出てくるわけです．それは，「かけ算の順序論争」に答えを出すため（に読むべき）ではなく，著述の一貫性，もしくは各著者の知的誠実さによるものなのでしょう．

（最終更新：2013-10-23 朝．タイトルを「もう一つの，1970年代の乗法構造」から変更したほか，本文を少し書き換えました）

*1:今読み直して，いろいろアクセスして，知ったのですが，「数学セミナー」は日本評論社の雑誌なのでしたか．

*2:算数教育と関連づけるなら，「Xの二つの元の比」は比の第一用法，「比の乗法」は第二用法に対応します．

*3:「3x＝(4.5袋, 6箱, 9ピン, 6カン)」から得ています．xの係数3，あるいは「3×」が，スカラー倍に対応しています．