いきなりですが問題です．
A 定価2400円の品物を2割引きにします。何円安くなりますか。
B 2割引きにしたので480円安くなりました。定価は何円だったのでしょう。
C 480円の2400円に対する割合をもとめなさい。
（田中博史: ビジュアル公式「4マス関係表」, 算数授業研究 90 特集:これだけは知っておきたい!「習熟」のための指導技術, p.51 (2013)）
あとは箱囲みのない地の文になるので割愛します．式はそれぞれ2400×0.2＝480，480÷0.2＝2400，480÷2400＝0.2ですが，どうして，かけ算が1つ，わり算が2つなのでしょうか? かけ算をもう1つ増やして2つずつにするか，わり算を1つ減らして1つずつにするのが，公平なのではないでしょうか?
上で引用した文章では，書名こそ挙げていませんが，『筑波大学附属小学校田中先生の算数4マス関係表で解く文章題―小学4・5年生 (有名小学校メソッド)』の宣伝をなさっています．当ブログでは4マス関係表で取り上げています．
「かけ算が1つ，わり算が2つ」になっている事情は，今年作ったQ&Aの中で書いています（後述）が，本日は新たな検討を試みることにします．上記ページには表がありまして，A，B，Cに対応する2行2列の表は，それぞれ次のようになっています．
A：
| 2400円 | ？ |
| 1 | 0.2 |
B：
| ？ | 480円 |
| 1 | 0.2 |
C：
| 2400円 | 480円 |
| 1 | ? |
そうすると，次の関係になる状況ってのもあるのではないか，と思うようになります．
| 2400円 | 480円 |
| ？ | 0.2 |
これをDと呼ぶことにします．これがかけ算で求められるなら，かけ算が2つ，わり算が2つで，バランスがとれます（実際には，以下で述べるとおり，そうはいきませんでした）．
問題文を作ってみるなら…「480円は定価の2割です．2400円は，定価の何割でしょう」．これは問題文だけ見て解けます．480：0.2＝2400：xと式を立てて，480x＝0.2×2400＝480．左辺と右辺を0.2で割るとx＝1．2400円は定価そのもの，割合にすると「10割」です．
とはいえこれは，大人モードです．方程式も，比例式も，内項・外項も，480xなんていう文字式も，小学校の算数の範囲を超えています．
小学生モードでも，解いておきましょう．「2400円・480円・？・0.2」の表は，「480円を何倍かしたら2400円になる．これは，480円に何かをかけると，2400円になるってことだ．0.2に，同じのをかけると，？の答えになる」と読むことができます．「480円を何倍かしたら2400円になる」の中の何倍は，2400÷480＝5で，5倍です．0.2に5をかけたら…0.2×5＝1です．2400円は定価そのもの，やはり定価の10割です．めでたしめでたし．
いえいえいえいえ．どうやら，4マス関係表で，「1」になる箇所を「？」にして計算しようとすると，1個のかけ算でも，1個のわり算でもなく，わり算とかけ算を組み合わせた，複雑な式となってしまいます．
なぜそうなるかについては，Dの中で値を1つだけ変えた，次の問題（Eと呼びます）を解けば見えてきます…「480円は定価の2割です．960円は，定価の何割でしょう」．比例式にすると，480：0.2＝960：x．これを解いてx＝0.4．答えは4割です．
表は次のとおりつくって：
| 960円 | 480円 |
| ？ | 0.2 |
ここから関係を見ると，960円は480円の2倍（960÷480＝2），0.2の2倍は0.2×2＝0.4となります．
DもEも，まったく同じ流れです．「？」に入ることになる値が，1であっても1以外であっても，同じ手順，そして同じ手間で，解くことになります．
DとEを，「帰一法」を使って解くことにします．帰一法は式計算の手法であり，図も表も用いないのですが，ここではプロセスが分かるよう，2行3列の表にします．値の大小関係ではなく，既知から未知の順に各列を並べます．そして，1とみたときの値をいったん求めてから，答えを得ることにします．まずはE：
| 480円 | ？円 | 960円 |
| 0.2 | 1 | ？ |
↓
| 480円 | 2400円 | 960円 |
| 0.2 | 1 | ？ |
↓
| 480円 | 2400円 | 960円 |
| 0.2 | 1 | 0.4 |
先に左2列分，「480円・？円・0.2・1」の表から，？を求めます．これが「1と見たときの金額」すなわち定価です．これはBの表のことでして，なので？は2400です．
そして右2列分，「2400円・960円・1・？」の表から，？を計算します．今度はCの表と同様となりまして，960÷2400＝0.4となります．
同様に，Dを2行3列の表にすると：
| 480円 | ？円 | 2400円 |
| 0.2 | 1 | ？ |
↓
| 480円 | 2400円 | 2400円 |
| 0.2 | 1 | ？ |
↓
| 480円 | 2400円 | 2400円 |
| 0.2 | 1 | 1 |
2400円が2つ，横並びになります．1も2つ，横並びです．
帰一法で考えると，Dのほうがわり算を1回分しなくて済みます．なので，Eよりも手間が少ない，と言うことができます（でもかけ算・わり算の結果が「1」になる問題は，算数でなかなか見かけないですね…）．比例式と，小学生モードの解法では，わり算1回とかけ算1回を使用していますが，帰一法となるEでは，わり算を2回使用して答えを求めることになるのが，興味深いです．
「かけ算が1つ，わり算が2つ」になっている事情として，以前に書いたものを引用します．
乗法・除法の相互関係は，割合（「倍」の考え方の一つ）だと，A＝B×p，p＝A÷B，B＝A÷pで表すことができます．低学年で学習する，分離量どうしの乗除算にも，同様の関係があり，かけ算・わり算の8マス関係表を作ってきました．
「×」から学んだこと 13.04―トランプ配り
米国のCommon Core State Standards for Mathematicsに収録されている，かけ算・わり算の表も，「かけ算が1つ（Unknown Product），わり算が2つ（Group Size UnknownとNumber of Groups Unknown）」です．
補足すると，かけられる数とかける数とを区別する場合には，B×p＝A（Bはbase，pはproportion，Aはamount）と表すことができ，それぞれの文字について解くとA＝B×p，p＝A÷B，B＝A÷pの3つの式が得られます．かけられる数とかける数とを区別しない場合には，A×B＝p（AとBは2つの数，pはproduct）と表され，同様にA＝p÷B，B＝p÷A，p＝A×Bとなりますが前二者は実質的に同じ*1なので，かけ算が1つ，わり算が1つとなります．
『算数授業研究 Vol.90』の自分用メモ：p.25の「5×5−1」に対応する●の並びは間違っています．ジャマイカがp.38とp.50で別々の1ページ記事になっています．p.52には5×3と3×5（団子に串刺し），6×2と3×4（キャンディを分ける）で総数は同じだけれど式が違うという絵があります．p.53では，「15分を1kmで歩く人の速さは，時速何kmですか」の計算式に1×4を挙げています．
（最終更新：2013-11-20 朝）
*1:Common Coreの表にある"Area example. A rectangle has area 18 square centimeters. If one side is 3 cm long, how long is a side next to it?"と"Area example. A rectangle has area 18 square centimeters. If one side is 6 cm long, how long is a side next to it?"が該当します．
