わさっきhb

大学(教育研究)とか ,親馬鹿とか,和歌山とか,とか,とか.

4×3と3×4

なにこれ

「4×3と3×4,答えは同じでも意味が違う」に関して,数学的な観点から検討を深めようと思いまして,その足がかりとして,図を作りました.
「4×3と3×4」の違いについては,以下の書籍やWebの情報で見てきており,当ブログでも取り上げてきました.

「数学的な観点」のアウトラインを示しておきます*1.場面の集合Sと式の集合Eを定義します.式は"3×4"や"4×3"といった(フレーズ型の)式のほかに,"12"のような,それ以上計算できない式(項書換え系でいう正規形)も含まれます.Eにおいて代数的に等しい式に基づく同値関係(Eの同値関係)を得ることができ,乗法の交換法則は,Eの同値関係の一部として,算数・数学において確かめたり,活用したりします.
場面と式との対応づけは,SとEを用いた2部グラフで構成されます.したがって,交換法則をはじめとする代数的な話とは別になります.どの場面がどの式で表されるか,逆にある式を表す場面にはどんなものがあるのかに関しては,教室や,人の頭の中など(モデル)を設定することで決まります.
Sの2つの要素x,yが同等であること(Sの同値関係)を,任意のe∈Eにおいてxとeが対応づけられる(eはxを表す式である)とき常にyとeが対応づけられ,かつ逆も成り立つときと定めます*2.Sの要素として

  • s1: 「4こずつ3人に」の場面
  • s2: 「3こずつ4人に」の場面
  • s3: 3行4列にキャンディを配置した場面
  • s4: 4行3列にキャンディを配置した場面

を用意します.国内外の算数教育の観察から得られる知見として,s1, s2, s3, s4の中で同等なのはs3とs4のみです.その一方で,s∈{s1,s2,s3,s4}に対応づけられる式eはいずれも,上述のEの同値関係において"12"と同等となります.以上が,「3×4と4×3,答えは同じでも意味は違う」の数学的な表現です.

*1:具体化と整理をした上で,そのうち,日本語と英語で文章を書いて公開する予定です.

*2:いわゆる否定派は,あるe∈Eにより,xとe,yとeがそれぞれ対応づけられることによる同値関係を採用する傾向にあります.