なにこれ
「4×3と3×4，答えは同じでも意味が違う」に関して，数学的な観点から検討を深めようと思いまして，その足がかりとして，図を作りました．
「4×3と3×4」の違いについては，以下の書籍やWebの情報で見てきており，当ブログでも取り上げてきました．
- 誰もができる子どもに活用力をつけるワクワク授業づくり―第2回RISE授業実践セミナーの報告 → デカルト積のピクトリアル - わさっき
- Teaching Mathematics in Grades K-8: Research Based Methods → Luckier! - わさっき
- 平成22年度実施 学力実態調査の集計と考察〈数と計算 数量関係〉 → トランプ配りと，うまくやっていく - わさっき
- 平成24年度実施 学力実態調査の集計と考察〈数と計算 数量関係〉 → 6年は鉄のぼう，2年はみかん - わさっき
「数学的な観点」のアウトラインを示しておきます*1．場面の集合Sと式の集合Eを定義します．式は"3×4"や"4×3"といった（フレーズ型の）式のほかに，"12"のような，それ以上計算できない式（項書換え系でいう正規形）も含まれます．Eにおいて代数的に等しい式に基づく同値関係（Eの同値関係）を得ることができ，乗法の交換法則は，Eの同値関係の一部として，算数・数学において確かめたり，活用したりします．
場面と式との対応づけは，SとEを用いた2部グラフで構成されます．したがって，交換法則をはじめとする代数的な話とは別になります．どの場面がどの式で表されるか，逆にある式を表す場面にはどんなものがあるのかに関しては，教室や，人の頭の中など（モデル）を設定することで決まります．
Sの2つの要素x,yが同等であること（Sの同値関係）を，任意のe∈Eにおいてxとeが対応づけられる（eはxを表す式である）とき常にyとeが対応づけられ，かつ逆も成り立つときと定めます*2．Sの要素として
- s1: 「4こずつ3人に」の場面
- s2: 「3こずつ4人に」の場面
- s3: 3行4列にキャンディを配置した場面
- s4: 4行3列にキャンディを配置した場面
を用意します．国内外の算数教育の観察から得られる知見として，s1, s2, s3, s4の中で同等なのはs3とs4のみです．その一方で，s∈{s1,s2,s3,s4}に対応づけられる式eはいずれも，上述のEの同値関係において"12"と同等となります．以上が，「3×4と4×3，答えは同じでも意味は違う」の数学的な表現です．
