わさっきhb

大学（教育研究）とか ，親馬鹿とか，和歌山とか，とか，とか．

三角形三角形問題〜1. 教員採用試験より

本

いきなりですが問題です．

次の図で，AD:DF＝2:1，BE:ED＝1:1，EF:FC＝1:3のとき，△ABCの面積に対する△DEFの面積の割合を分数であらわせ。

（平成24年度東京都教員採用試験第2回教職教養及び専門教養問題より）

次の本のp.211で目にしました．

小学校算数 (教科力シリーズ)

小学校算数 (教科力シリーズ)

さっそくですが解答です．本だけを見たときには，2×1×3で6分の1だとか，（2＋1）×（1＋1）×（3＋1）で24分の1だとかではなさそうだと思ったところで，通勤のバスは終点に着きました．帰宅後に紙と鉛筆で取り組みまして，BF，CDを結んだところ，三角形ABCを構成する7つの三角形の面積がそれぞれ，三角形DEFの何倍かであらわすことができ，答えは18分の1となりました．

AD:DF＝a:1，BE:ED＝b:1，CF:FE＝c:1に置き換えると，三角形ABCの面積は三角形DEFの面積の(a+1)(b+1)(c+1)−abc倍となることもわかりました．
DEFの位置決めや，作図については，別エントリとします．


算数教育の本で，教員採用試験の出題を取り上げているのを見たのは，『授業に役立つ算数教科書の数学的背景』以来です．
『小学校算数』では，中学入試の算数の試験内容の特徴を3項目*1，挙げたのち，次のように述べ(p.210)，小学校教師や，教師志望者に，「小学校で教える算数だけではダメなんだよ」というメッセージを提示しています．

中学以上では方程式や関数，三平方の定理や平方根を用いて扱う問題を特殊算的解法で解かせることやパズル的な知識による問題については議論の分かれるところではあるが，習熟度の高い児童への発展的問題として取りあげることは可能であるし，少なくとも教師自身はこうした問題も確実に解答できる力を持っていなければ，進学志向の強いクラスの運営は非常に困難になる可能性があろう。
そうした状況もあってかここ数年の教員採用試験には図形問題を中心に受験算数に近い内容の問題も出題されており，この種の問題に対しても十分に対応できる力を持った教員が要求されている。一例として2012年度に実施された東京都の教員採用試験の2次募集で出題された問題を示す（図表15-1）。この問題は中学入試でよく出題される図形と比の問題として解くことができ，こうした問題を短時間で解く能力が教師にも求められている。

「図表15-1」は，冒頭の問題です．また「図形と比」というのは，次の図で表されます．三角形PQRに対し，頂点Pと，その対辺QR上の任意の点Sとを結んだとき，分割された2つの三角形（PSQおよびPSR）の面積比は，分割された対辺の長さ（QSおよびRS）の比と等しくなります．式にすると，△PSQ:△PSR＝QS:RSです．


『小学校算数』を通して読んだ感想をメモしておきます．前半は退屈でした．横地清の名前や「バラ数」が目につきます．乗法の定義(p.27)で，集合の直積の演算子に×ではなく\otimesを用いているのと，「（ただし，n（A∩B）＝φ）」という断り書きは，数学まで見通せていないなとも感じました．「\otimes」で連想するのはテンソル積*2ですが，後ろを読んでも出現しませんでしたし，複合的な量（第6章）は，速さをはじめ，割って求めるのが基本です（面積は一つ前の章です）．「図表１０−１０　今日の定食はうな丼だ」(p.132)は，笑いを取りに行ったのかと思いましたし，図表１１−２０（標準正規分布表，p.160）のど真ん中の「p(x)」は不可解です．パー書きの量「円／枚」は面積図（p.212）の中で紹介されています．「単位あたりの量×割合（個数）＝全体量」(同)という言葉の式にも，あやしさが見えます*3．「頭の体操　第1集」がなんで1999年(pp.230, 231)やねんと思って，Amazonで引くと，どうやら光文社知恵の森文庫を出典とされたようで*4．

*1:かいつまんで書くと，小学校学習指導要領の範囲内で解答できる／難易度の高い問題（教科書レベルでは差がつかない）／解法のテクニックが必要な問題やパズル的な問題も．

*2:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20120428/1335563588

*3:「単位あたりの量」を異種の量どうしの割合とみなすなら(p.76)，それに割合をかけるのはどういうことだとなります．内包量×外延量と，基準量×割合は，分けて扱うべきでしょう．http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130312/1363031965 http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20141010/1412893475

*4:isbn:4334728057．1999年より前に読んだのはisbn:4334002390．