やっと衣替えが終わりました．着なくなった長袖衣類は，いくつかを箱にしまい，いくつかを妻に託しました．
梅雨入りして，雨のおかげで一時的に気温が下がったとはいえ，これからどんどんと，温度が上がっていきます．1日における温度の高低差も，無視できません．
ところで大阪の気候を見てみると，1981年〜2010年の30年間の平均値として，6月の最低気温は20.0度，最高気温は27.8度とあります．
日によってはそれより低いとき，また高いとき（6月にもきっと真夏日が!）もあるわけですが，さてここで，「平均」の気温を求めるとき，算数でやってきたように，足し合わせて個数で割るという方法で，問題はないのでしょうか．
これは，温度という量*1にいくつか現実的な仮定を置けば，その計算方法で問題のないことが数学的に説明できます．以下，簡単な計算例を交えながら，見ていくことにします．
なお，温度表記には摂氏を採用していますが，華氏や絶対温度に置き換えても，以下の議論に影響しません．「足し合わせて個数で割る」と書いた通り，相加平均のみを対象とします．これは，温度の加法とスカラー倍を定義し利用することと，深い関係があります．
温度の加法，すなわち「温度どうしの足し算」を定義する前に，「温度どうしの引き算」は，常に可能とみなします．例えば28℃−26℃＝2℃，26℃−28℃＝-2℃です（例えば，数直線で考えるといいでしょう）．これらの等式の左辺，より正確には引き算記号の前後は，ともに「温度」（気温も該当します）なのに対し，右辺，言い換えると引き算の結果は，「温度差」になることにも，注意が必要です．
上記のほか，温度と温度差の演算として，次のことが行えるものとします．
- 温度に温度差を足すか引くかして，新たな温度を求めることができる．
- 温度差どうしの足し算，引き算，割り算が行える．
- 温度差を実数倍したり，温度差を0以外の実数で割ったりできる．
温度差どうしの掛け算は，実用性に乏しい話です．温度差どうしの割り算はというと，「部屋が閉鎖され，冷却装置が稼働した．1分で2℃下がるという．今より30℃下がるのは，30÷2で15分後だ」といったシチュエーションを考えるなら，この中の30÷2は，温度差どうしの割り算をしていることになります*2．
道具が揃ったところで，「温度どうしの足し算」を考えます．ある基準値となる温度a℃を用いて，2つの温度x℃とy℃の足し算を次のように定義します．
x＋y＝a＋（x−a）＋（y−a）
左辺とイコールは，「xとyを足す（xとyの和）とは」と読むことができます．右辺ですが，x−aもy−aも，温度どうしの引き算によって温度差を求めており，それを，aという温度に足しているので，構文的には，問題ありません．
ただし意味論的（代数的，と言ってもいいでしょう）には，すんなり理解できない式です．まずa，x，yが任意の実数だとすると，この式を満たすのは，aが0のときに限られます．しかし，「ある基準値となる温度a℃」としたとおり，0でなくても，この式を使うことが要請されます．
さしあたりこの式は，次のように理解してください．すなわち，x℃が基準値a℃からどれだけ増減しているかと，y℃が基準値a℃からどれだけ増減しているかを，足し合わせ，その和（基準値a℃からどれだけ増減しているか）を温度にしたものを，x℃とy℃の和と定義しています．
もう一つの注意点は，「基準値となる温度a℃」の存在です．これによって，x℃とy℃の和が一意に定まりません．いくつか値を割り当てて，計算してみましょう．
a＝25とすると，26℃＋28℃＝25℃＋（26℃−25℃）＋（28℃−25℃）＝25℃＋1℃＋3℃＝29℃です．
a＝27だったら，26℃＋28℃＝27℃＋（26℃−27℃）＋（28℃−27℃）＝27℃−1℃＋1℃＝27℃と，先ほどと異なります．
a＝-300（絶対零度を下回りますが，数学的には，こういった値を考えることもできます）にしてやると，26℃＋28℃＝-300℃＋（26℃−(-300℃)）＋（28℃−(-300℃)）＝-300℃＋326℃＋328℃＝354℃です．またまた異なります．
とはいえこの違いは，a℃をさまざまに変えようとすることによる不具合です．話を進めましょう．
足し算を繰り返したら掛け算，という素朴な考え方をもとに，温度x℃の実数倍（k倍）を，次の式で定義します．
x×k＝a＋（x−a）×k
とくにk＝2のときは，x×2＝x＋xが成り立ちます．
この式には，温度を0以外の実数で割ることも含まれています．例えばx÷2＝x×です．
これらを用いて，26℃と28℃という2つの温度の平均を，求めてみましょう．
a＝25とすると，（26℃＋28℃）÷2＝29℃÷2＝25℃＋（29℃−25℃）÷2＝25℃＋4℃÷2＝25℃＋2℃＝27℃です．ここで「29℃÷2」は温度を2で割っているのに対し，「4℃÷２」は温度差を2で割っています．
a＝27だったら，（26℃＋28℃）÷2＝27℃÷2＝27℃＋（27℃−27℃）÷2＝27℃＋0℃÷2＝27℃＋0℃＝27℃です．
a＝-300にしてやると，（26℃＋28℃）÷2＝354℃÷2＝-300℃＋（354℃−(-300℃)）÷2＝-300℃＋654℃÷2＝-300℃＋327℃＝27℃です．
足し算だったら，aの値によって結果が変わっていたのが，平均だといずれも同じとなりました!
aをどんな温度にしても，平均は同じなら，a＝0℃として，計算するのが簡単です．
そのとき，（26℃＋28℃）÷2という式は，2つの温度26℃，28℃の平均であるとともに，0℃を基準として26℃，28℃高いという状況（2つの温度差）の平均が，0℃からどれだけ高いかを表した式にもなっています．
ここまで，26℃，28℃という2つの温度の足し算や平均を見てきましたが，任意個でも同様になります．
というのも，本日の検討は数学における「アフィン空間」と密接な関係があります．温度はアフィン空間，そこからa℃を引き算した値（温度差）は，線形空間となります．温度の足し算・掛け算の定義式で，a℃を引いたのは，アフィン空間から線形空間への写像と見なすことができ，a℃を足しているのはその逆写像です．
このようなアフィン空間上のN個の要素x1, x2, ..., xNに対し，実数c1, c2, ..., cN，ただしc1＋c2＋…＋cN＝1を用意すると，c1x1＋c2x2＋…＋cNxN*3という式の結果は，アフィン空間から線形空間への写像（引いたa℃の値に相当）に無関係となります．そしてc1＝c2＝…＝cN＝と置いたら，相加平均になるという次第です．
関連：
補足を．a＝25℃やa＝27℃としたときの平均の計算では，aを「仮の平均」*4と見ることができます．
また単純に足すのは不適切でも，平均を求めるのなら差し支えないという数量には，温度のほか，時刻や日付を挙げることができます．wikipedia:尺度水準の中の「間隔尺度」が該当します．
（最終更新：2015-06-09 晩）
