筆算の順序から進展

昨日，またツイートからのアクセスがありました．元ツイートは：

筆算の順序を読み直しました．この件は，その後に得た情報で，認識が変わった（あるいは強化された）というのが思い浮かびません．
いや，1つ，ありました．教科書展示会で見たのですが，どこの教科書会社だったか，3年の算数で，たしか，次のような図（絵）が載っていました．

○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○

4行10列のアレイです．この○の総数は，4×10でも，10×4でも求められるね，という展開になっていました．
名称はともかく，アレイに対し，かけ算の式にするのは，2年で学習しているはずです．2年と3年の学習の間でのスパイラル*1が，配慮されたのかもしれません．
ただ，これを見たとき，長い方を「10個」としているのが，筆算の手続きにおいて，かけられる数とかける数を交換する（交換して計算できる）根拠になるのかなと，考えたものです．
数を割り当ててみます．「74×23」を使うことにしましょう．大人モードでは，74×23＝（70＋4）×（20＋3）＝4×3＋70×3＋4×20＋70×20と，展開ができます*2．
さて，筆算するにあたり，かける数の十の位となる「2」については，「2×4」や「2×7」によって，計算します．
この展開で出てきた3番目の項，「4×20」について，4×20＝4×（10×2）＝4×10×2＝（4×10）×2＝10×4×2＝10×（4×2）＝10×（2×4）とすると，10が2×4＝8個ある，だからこの部分で，筆算の答えのうち80を求めたんだという次第です．2×7は，70×20＝…＝100×（2×7）です．
なお，上記は，「筆算の部分積で，かけられる数・かける数を交換するのはなぜか」の検討です．74×23の計算は，7×2，7×3，4×2，4×3の九九を使ってもできるじゃないかと言うのであれば，おそらく関連しそうなキーワードは「非標準的な計算法」です*3．

[twitter:@jeonjung_tanaka]さんのツイートを1〜2日分，読ませていただいたところ，「かけ算の順序」関連のリツイートがありました．

リンク先は：

画像は：

最初の問題は，"1. Use the repeated addition strategy to solve: 5 x 3.（5×3を，たし算で求めなさい）"です．すぐ下に「5×3＝＿」も印字してあります．下線のところには「15」が手書きされています．すぐ右にある「5＋5＋5」も，同じ人の解答と思われます．
この答案に対し，赤字で「-1」とついています．間違いだったというわけです．右には「3＋3＋3＋3＋3」とありますが，これを先生が書いたか子どもが書いたかは，分かりません．
次の問題は，"2. Draw an array to show and solve: 4 x 6.（4×6になる図をかいて，答えを求めなさい）"で，「4×6＝＿」の下線には24，そしてアレイは「1」を，6行4列に並べています．
これも赤字で「-1」，そして4行6列のアレイが添えられていました．
Independentの記事は，「pettiness（狭量さ）」がタイトル直下や本文にもあるのが顕著で，この採点を批判する論調となっています．
その一方で，Imgurのコメントを見ると，批判に賛同する中にも，"Please notice that it's about the meaning of the question. Obviously, the meaning of 5x3 is completely different from 3x5.（意味を問う問題なんだ．明らかに，5×3は3×5と全く異なる）"や"It's true that 6x4=4x6=24 imagine a wedding 6 tables with 4 people isn't the same as 4 tables with 6 people, still have 24 guests though.（4人掛けの6テーブルと6人掛けの4つのテーブルは同じではないよ，24人分ではあるけれど）"といったコメントも，入っていました．
「論争」に関しては，「3×5が正解だというが，交換法則があるから5×3も正解だよ」と「交換法則から3×5＝5×3となるが，3×5と5×3とで表すものが異なるよ」との対比*4がここでも見られたのか，というのが個人的な思いです．
出題，そして正誤判定はというと，学校でどのように教えているか次第でしょうね．最初のほう（repeated addition，累加）は，米国なら5×3＝3＋3＋3＋3＋3であり5＋5＋5ではないと指導するだろうなとも思います．アレイは，縦の数×横の数，あるいは行の数×列の数という教え方をしているのかどうかが気になります．
文章題やアレイについては，当ブログにて英語記事をリリースしてきましたが，今回の論争に答えを出しているかというと，残念ながら，そうとは思えません．ともあれ，リンクを：

最後の記事に対しては，海外で討論がありました（In Japanese primary schools, math problems are really word problems. | NeoGAF）．自分の情報収集や取りまとめとは別のところで，同じ月（2013年11月）には台湾で報道があり，動画（http://www.youtube.com/watch?v=vhaOzXSLSyw）が視聴できるほか，中国語や英語によるやりとりも残っています．

上で見てきたテスト問題には，上部に，評価項目らしきものが書かれています．"3.OA.1: I can use multiplication strategies to help me multiply.（かけ算を使って，かけ算の答えを求めることができる*5）"と"3.OA.3: I can use the structure of a word problem to help me solve it.（文章題の構造を使って，答えを求めることができる*6）"です．
「OA」やナンバリングから（そして記事にも言及がありましたが），Common Coreを連想します．少し調べたところ，ちょうど該当するものは，Common Core State Standardsのmathematicsにはなく，もっとも近そうなのは3.OA.A.3です．
「3.OA.1」と「3.OA.3」の各事項は，Common Core State Standardsすなわち全米ではなく，州または学校で設けた基準ではないかと推測します．

*1:http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_1.pdf#page=7

*2:中学3年で習う公式をもとにすると，70×20＋70×3＋4×20＋4×3になると思いますが，項の並びは，筆算の計算の順にしておきました．

*3:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20120531/1338411301

*4:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20151014/1444771468

*5:おそらく"multiplication strategies"は"addition strategies"の誤記です．訳は「たし算を使って，かけ算の答えを求めることができる」となります．http://www.corestandards.org/Math/Content/2/OA/の2.OA.C.3と2.OA.C.4が関連してきます．

*6:word problemの冠詞がaで，structureの冠詞がtheとなっているのは，この段階で学習したり解答したりするかけ算の文章題（いろいろある中から，出題された一つ）では，かけられる数とかける数がそれぞれ一意に定まる（式で逆に書いてはいけない）ことを示唆します．ところで，2つの問題にも，定冠詞と不定冠詞が見られます．"the repeated addition strategy"とあるので，5×3の累加の表現は一意となるわけで，では"an array"はというと…1個1個の形状は，解答では「1」だったけれど他のにすることもできて，しかし（採点基準として）行数・列数は，4行6列のみ正解で6行4列は不正解，といったところでしょうか．

わさっきhb

大学（教育研究）とか，親馬鹿とか，和歌山とか，とか，とか．

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