いきなりですが問題です．式と答えを書きましょう．
a) ひろしくんはまえから5ばんめです。ひろしくんのうしろには3にんいます。子どもは何人ならんでいますか。
b) ひろしくんのまえには5にん，うしろには3にんいます。子どもは何人ならんでいますか。
c) ひろしくんはまえから5ばんめで，うしろから3ばんめです。子どもは何人ならんでいますか。
解答の前に元ネタです．
- 田中博史: わかりやすい言葉に置き換えて問題解決を前進させる力を育てる, 算数授業研究 Vol.103, pp.64-67 (2016).
- 作者: 筑波大学附属小学校算数研究部
- 出版社/メーカー: 東洋館出版社
- 発売日: 2016/02/22
- メディア: 単行本
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最初のページの左肩には「研究発表」とあります．上記の3問について，これらの問題場面を用いた公開授業が，2015年7月19日のオール筑波算数サマーフェスティバルで，1,000人の前で行われたほか，授業は「映像で見る算数授業シリーズ」として2016年2月に刊行されるとのことです．執筆者のファーストネームと「ひろしくん」は作為的な一致であり，別人とみるべきでしょう．
「子どもの並び方」を考える問題です．そうすると，式と答えはそれぞれ，次のように書けば正解のはずです．
a) 式 5＋3＝8 答え 8人
b) 式 5＋1＋3＝9 答え 9人
c) 式 5＋3−1＝7 答え 7人
a)とb)は，図にして，前からたし算をしていくと，それぞれの式になります．
c)は，集合Aの要素数をn(A)と書いたとき，n(A∪B)＝n(A)＋n(B)−n(A∩B)で表される，和集合の性質を用いています…が，小学生向けではありませんね．授業では(p.67)，「ひろしくんは前から5番目と言うことはひろしくんの前には4人いる。後ろから3番目だから後ろには2人いる」という，子どもの発言をもとに，4＋1＋2の式を得ていました．
本文ではa)からc)までそれぞれ，箱で囲まれていました*1．ここで「子どもの並び方」や，子どもたちとの公開授業といった文脈を取り除いてみると，別解の存在に気づきました．
というのは，それぞれの問題で「ひろしくん」が子どもではないと仮定すると，式も答えも変わってくるのです．
こういうときは場合分けして，次のように書けばいいでしょうか．
1. ひろしくんが子どものとき：
a) 式 5＋3＝8 答え 8人
b) 式 5＋1＋3＝9 答え 9人
c) 式 5＋3−1＝7 答え 7人
2. ひろしくんが子どもでないとき：
a) 式 5＋3−1＝7 答え 7人
b) 式 5＋3＝8 答え 8人
c) 式 （5−1）＋（3−1）＝6 答え 6人
「ひろしくんが子どもでないとき」の式に，「ひろしくんが子どものとき」の式が流用できます*2．最後の式は，問題文では「5ばんめ」「3ばんめ」と2つとも，順序数で与えられているところを，1ずつひき，集合数にしてから合併しました．
「ひろしくん2012」は
別方面から
「かけ算の順序」関連ではよく，「a×b」の形の式を間違いとし，そこから「b×a」のみが正解だと読み取れる実例を見かけますが，半径11の円の面積で，有効数字の処理まで行い「380」と書いて，間違いとなっている答案は，見たことないですね…．
それはそれとして，「円周率を3.14とする」は，少し面白そうに思えたので，コードを書いてみました．具体的には，正n角形で「3.14」（小数第3位以下はすべて0，すなわち3.140000…）に最も近くなるようなnを，試算したところ，n＝57と分かりました．
「正n角形で「3.14」」を，具体的に書いておかないといけませんね．円周率は（πとか，3.14とかではなく）「円周の直径に対する割合」によって定義されていることを起点とします．正n角形（n＝3, 4, 5, ...）では，「正n角形の周りの長さの，中心から1つの頂点までの距離の2倍に対する割合」に置き換えて考えます*3．中心から1つの頂点までの距離を1に固定し，円周上にn個の点を等間隔にとって結べば，正n角形ができまして，正n角形の周りの長さ（割合も）は，nに関して単調増加となります．
これらの検討に基づいて，以下の検証コードを書きました．
#include <stdio.h> #include <math.h> int main(void) { double n; for (n = 50; n <= 60; n++) { double v = sin(M_PI / n) * n; printf("%g: %g\n", n, v); } return 0; }
手元の環境では「57: 3.14」と表示されます．ただしそのときのvの値から，3.14を引くと，0でない値が得られまして，厳密に3.14ではないことも分かります．
正n角形（n＝3, 4, 5, ...）で円周率に類似した値を求めたとき*4，その割合が誤差なく3.14となる正多角形は，存在しないけれど，正57角形がもっとも近い，というのが結論です．
（最終更新：2016-02-29 朝）
*1:箱囲みの下には順に，「→問題場面の数値をそのまま使えば答えが出せるもの（順序数と集合数）」「→問題場面の中にない数値を読み取って解決するもの（集合数と集合数）」「→問題場面の数値にある重なりを図から読み取って解決するもの（順序数と順序数）」と書かれています．以前，うえの子の算数の教科書を見たとき，「順序数のたし算」はa)のタイプばかりだった，という記憶がよみがえってきました．
*2:もちろん，流用できるように，「ひろしくんが子どものとき」のc)の式で，和集合の性質を持ち出したのが，実際のところです．ただし，「ひろしくんが子どもでないとき」のa)では5−1＋3＝7という式も立てられますが，「ひろしくんが子どものとき」のc)でその式は不自然，という違いもあります．
*3:「中心から1つの頂点までの距離の2倍」は，円の直径に相当しますが，これを「正n角形の最も離れた2点間の距離」とすると，nが奇数のときに都合が悪くなります．
*4:算出において，「円周率を3.14とする」ことはしていません．もしそうだとすると，プログラムコードで使用した組み込み定数M_PIや，数学関数のsinも，変更する必要が出てきます．
