いきなりですが問題です．
1リットルの液体があります．
3つの容器に，同じ量になるよう分けます．
どうやって分けますか．
3つの容器は同一で，見比べることによって，どれが多いか少ないか，また同じ量なのかが分かるものとします．
そうすると，同じ量になるまで，多い容器から少ない容器へ注ぎ，目で見て，同じ量になるまで操作するという，何とも直感的なやり方が，答えになります．
そこで，「注ぐ操作」を限定します．こういう問題です．
3つの容器があります．1つの容器に，1リットルの液体があります．残り2つの容器は，空っぽです．
それら3つの容器に，液体が同じ量になるよう分けます．
次の操作が行えるものとします．
- 3つの容器を見比べて，どれが多いか少ないか，また同じ量なのかを知ること．
- 2つの容器について，液体の量を均す（一つがaリットル，もう一つがbリットルのとき，両方とも(a+b)/2リットルにする）こと．
どうやって分けますか．
これだと，「3つが同じ量にならないのでは」と思いたくなります．数学的にも，「有限回の操作では，どの容器も，液体の量を3分の1リットルにすることができない」ことが示せます．均す操作の繰り返しでは，どの容器に入っている量も，ゼロか，「2のべき乗分の整数」リットル（1リットルは1分の1と見なします）であり，分子の整数をいくつにしても，誤差なく「3分の1」リットルにならないからです．
もちろん，均す操作を繰り返せば，3分の1リットルとの誤差はどんどん，小さくなっていくはずです．「2のべき乗分の整数」リットルとなることと合わせて，検証用のRubyスクリプト(balancing.rb)を作成しました．コードはGistより参照できます．
引数なしで実行すると，3つの容器に対し，5回の均す操作で，容量の変化を見ることができます．
$ ruby balancing.rb ==== Step 0 ==== *[1] 1/1 = 1.0 [2] 0/1 = 0.0 [3] 0/1 = 0.0 error: 2/3 = 0.6666666666666666 ==== Step 1 ==== [1] 1/2 = 0.5 [2] 1/2 = 0.5 *[3] 0/1 = 0.0 error: 1/3 = 0.3333333333333333 ==== Step 2 ==== [1] 1/4 = 0.25 *[2] 1/2 = 0.5 [3] 1/4 = 0.25 error: 1/6 = 0.16666666666666666 ==== Step 3 ==== [1] 3/8 = 0.375 [2] 3/8 = 0.375 *[3] 1/4 = 0.25 error: 1/12 = 0.08333333333333333 ==== Step 4 ==== [1] 5/16 = 0.3125 *[2] 3/8 = 0.375 [3] 5/16 = 0.3125 error: 1/24 = 0.041666666666666664 ==== Step 5 ==== [1] 11/32 = 0.34375 [2] 11/32 = 0.34375 *[3] 5/16 = 0.3125 error: 1/48 = 0.020833333333333332
「error」の行は最大誤差で，さかのぼって行頭の「*」のあるところが，最大誤差となっている容器（複数の場合もあります）です．Step 5の「[3] 5/16 = 0.3125」は，「3番目の容器は，16分の5リットル（0.3125リットル）」と読むことができます．
balancing.rbは引数をとることができ，第1引数は容器の数，第2引数は均す操作の回数です．3つの容器で50回だと，最後は次のようになります．
ruby balancing.rb 3 50 | tail -n 5 ==== Step 50 ==== [1] 375299968947541/1125899906842624 = 0.33333333333333304 *[2] 187649984473771/562949953421312 = 0.3333333333333339 [3] 375299968947541/1125899906842624 = 0.33333333333333304 error: 1/1688849860263936 = 5.921189464667501e-16
ここで，[1]や[3]の容器の分母「1125899906842624」は，2の50乗のことです．
なお，ruby balancing 64 63のように，第1引数に2の整数乗，第2引数にそれより1少ない数を与えて実行すると，誤差なく等分でき，「==== End of operation ====」で終了します．
コーディングに当たっては，RubyのRationalクラスを活用しました．均す際には，最も量の多い容器と，最も量の少ない容器とを組み合わせています．
