いきなりですが問題です．
自宅と大学のあいだの通信速度を知るため，6MBの画像ファイルを大学のウェブサーバに置き，自宅でブラウザを使ってダウンロードして時間を測定してみました．5回実施し，時間はそれぞれ10秒，6秒，7秒，4秒，5秒でした．平均速度は何bpsでしょうか．ただし，ブラウザのキャッシュなどは考えないものとします．
デはじの，今年度版です．授業そのものは1週間前で，数値は，実際の出題から変更しています．
基本となる式は，「速度＝データ量÷時間」です．なのですが，上の問題では，2通りの求め方が考えられます．
1つは「平均速度＝総データ量÷総時間」による求め方です．総データ量は，6×8×5＝240Mビットです．「×8」は，1バイト＝8ビットに基づき，バイトをビットに変換するためのかけ算です．「×5」はダウンロードの回数です．
総時間は，10＋6＋7＋4＋5＝32秒です．あとはわり算で，240÷32＝7.5Mbps．これが答えとなります．
もう1つの求め方は，ダウンロードごとに速度を求めてから，その平均を計算するというものです．1回分のデータ量は，6×8＝48Mビットであり，1回目の速度は，48÷10＝4.8Mbpsです．2回目以降も同様にして，48÷6＝8Mbps，48÷7＝6.9Mbps，48÷4＝12Mbps，48÷5＝9.6Mbpsとなり，その平均は，（4.8＋8＋6.9＋12＋9.6）÷5＝8.26Mbpsと出ました．ただし，48÷7は割り切れず，小数第2位を四捨五入していました．同様に，答えは8.3Mbpsと書くことにしましょう．
そうなのです．2通りの求め方で，速さが「7.5Mbps」「8.3Mbps」と，1割程度の違いが生じました!
どちらが適切なのかですが，「デはじ」のもととなった「みはじ」，あるいは速度の計算で，同様の事例がないかを探してみると，Q&Aになっていました．
ある道を往復し，行きの速さが40km/h，帰りが60km/hのとき，往復の平均時速を求めるとなると，正解は，足して2で割った50km/hではなく，48km/hだというのです．
ベストアンサーでは，片道120kmとして，「往復の道のり÷行きと帰りの時間の合計」により，48km/hなのを確認するとともに，なぜ，単純平均の50km/hではないかを，分数を用いて解説しています．
この種の平均では，単純平均（相加平均，算術平均）ではなく調和平均を使うはず，と思いながら，wikipedia:調和平均に当たると，「全体の走行時間と走行距離から求められる平均速度は調和平均の値である時速 48 km であって、算術平均によって求められる時速 50 km を平均とするのは適切ではない。もっとも、調和平均が適切な場合でもしばしば誤って算術平均が用いられる」と明記され，1969年の洋書が，出典として挙げられていました．
冒頭の問題について，5回それぞれの速さについて，調和平均を求めてみると，7.5になってくれました．Linuxのコマンドで求めると，「echo '5/(1/4.8+1/8+1/6.9+1/12+1/9.6)' | bc -l」の出力は7.51020408163265306138です．割り切れなかった箇所の精度を上げ，「echo '5/(1/4.8+1/8+1/6.85714285714285714285+1/12+1/9.6)' | bc -l」とすると，7.50000000000000000018と出ました．「echo '5/(1/(48/10)+1/(48/6)+1/(48/7)+1/(48/4)+1/(48/5))' | bc -l」も出力は同じ…なのですが，ここまでやるならbcコマンドではなく，手計算により15/2を得るべきですね．
授業前の教員間の検討では，数学的には「平均速度＝総データ量÷総時間」だけれど，単純平均で算出することもあるのだし，7.5Mbpsと8.3Mbpsの違いについても，むしろ測定した時間の精度（例えば「4秒」といっても，実際には3.5秒から4.5秒までの幅がある）のほうが誤差を生じる影響が大きいわけで，目くじらを立てるほどではなく，詳細はクラスごとにお任せとしましょう，となりました．
そこで，担当したクラスでは，ホワイトボードに「速度＝データ量÷時間」を書いてから，課題に取り組んでもらう途中で，「平均速度＝総データ量÷総時間」と「各回の速度の平均」とを書き，各自どちらの方法で計算しているかをチェックしてもらうとともに，余力のある学生は，2種類の方法で求め，同じ数値になったらそれが答えだし（いわゆる「たしかめ」），異なっていればどちらがより適切かを考えてみてほしいと指示しました．昨日の授業で，1枚スライドを用いて，解説しました．
