干支透視術

いきなりですが問題です．

青・緑・黄・赤のカードが1枚ずつあり，それぞれには5〜6種類の「えと」が描かれています．黄の絵柄は次のとおりです．

誰かに，えとの一つを心の中で選んでもらいます．そしてカードを渡し，選んだえとの絵があるカードを，すべて教えてもらいます．
その答えから，どのえとを選んだのかが，分かるというのです．
どうしてでしょうか．

元ネタは以下の雑誌のpp.42-43です．「干支透視術」と題しています．

プレジデントFamily (ファミリー)2018年 1月号 [雑誌]

「プレジデントFamily」は，1年前にも記事にしていました（答え合わせをどこまで厳しくすべき?―プレジデントFamilyに見る，かけ算の順序）．「算数が大得意になる」という特集とのことで，Kindle版を購入して読みました．今回，「かけ算の順序」関連は見当たらず，低学年向けには10マス計算・64マス計算とエレベーター算*1が，高学年向けには面積図・線分図が取り上げられていました．
といったところで解答です．

えとの12種類の生き物に，番号を振っておきます．ねずみ＝1，うし＝2，とら＝3，うさぎ＝4，たつ＝5，み＝6，うま＝7，ひつじ＝8，さる＝9，とり＝10，いぬ＝11，いのしし＝12です．
次に，それぞれのカードの絵柄は以下のとおりとします（表示は，えとの順ではなく，シャッフルします）．

• 赤：ねずみ，とら，たつ，うま，さる，いぬ
• 黄：うし，とら，み，うま，とり，いぬ
• 緑：うさぎ，たつ，み，うま，いのしし
• 青：ひつじ，さる，とり，いぬ，いのしし

カードのそれぞれの色に，番号を割り当てます．赤＝1，黄＝2，緑＝4，青＝8です．
そうすると，どのカードを選んだかで，次のとおり，えとが分かるという次第です．

• 赤だけ…番号の合計は1…ねずみ
• 黄だけ…番号の合計は2…うし
• 黄と赤…番号の合計は3…とら
• 緑だけ…番号の合計は4…うさぎ
• 緑と赤…番号の合計は5…たつ
• 緑と黄…番号の合計は6…み
• 緑と黄と赤…番号の合計は7…うま
• 青だけ…番号の合計は8…ひつじ
• 青と赤…番号の合計は9…さる
• 青と黄…番号の合計は10…とり
• 青と黄と赤…番号の合計は11…いぬ
• 青と緑…番号の合計は12…いのしし

1，2，4，8というのは，要は2進数です．ただし，えとの番号を0からではなく1から始めることで，「どのカードも選ばない」という状況は発生しません．
うまくできているといえばできているのですが，うま（2進数では0111）やいぬ（同1011）のように，4枚のうち3枚選ばないといけない（3枚に出現している）というのは，1枚だけのえとの生き物からすると，不公平感もあります．そこで問題です．

カードから選べるのは最大2枚までにして，上記と同様に「干支透視術」をするには，どのように変更すればいいでしょうか．

えとの再配置の前に，（区別のある）4枚のカードから「最大2枚」を選ぶとしたとき，何通りになるかを見ておきます．1枚だけ選ぶのは，4通りです．2枚選ぶのは，順列ではなく組み合わせである（「青と黄」という選び方は，「黄と青」という選び方と同じ）ことに注意すると，6通りです．合わせて10通りで，えとの12に届きません．
そこでカードを5枚にします．場合の数は，1枚だけだと5通り，2枚なら10通りで，合計15通りですので，えとに対応できます．
えとの12の生き物の番号は変更せず，カードとえととの対応づけには，3進数を採用して以下のとおりとしましょう．

• 赤（1）：ねずみ，うさぎ，うま，とり
• 黄（2）：うし，たつ，ひつじ，いぬ
• 緑（3）：とら，うさぎ，たつ，いのしし
• 青（6）：み，うま，ひつじ
• 白（9）：さる，とり，いぬ，いのしし

赤と黄にはそれぞれ，えとの番号を3で割って余りが1と2になるものが入ります．緑と青は，えとの番号を3で割ったときの余りを引いてから，9で割ったときの余りです．新たに導入した白については，えとの番号が9以上です．
どのカードを選んだかにより，判定結果は以下のとおりとなります．

• 赤だけ…番号の合計は1…ねずみ
• 黄だけ…番号の合計は2…うし
• 緑だけ…番号の合計は3…とら
• 緑と赤…番号の合計は4…うさぎ
• 緑と黄…番号の合計は5…たつ
• 青だけ…番号の合計は6…み
• 青と赤…番号の合計は7…うま
• 青と黄…番号の合計は8…ひつじ
• 白だけ…番号の合計は9…さる
• 白と赤…番号の合計は10…とり
• 白と黄…番号の合計は11…いぬ
• 白と緑…番号の合計は12…いのしし

めでたしめでたしと言いたいところですが，今度は青のカードだけ3種類（他は4種類）というアンバランスが生じました．
思いつく対応策は，えとにない絵柄の追加です．素直な発想としては，「ねこ」を青のカードに入れることですが，子ども向けのキャラクターというのも，いいかもしれません．

*1:967＋967の筆算から始まり，10個足して，9670になれば，間違いなく筆算できているというものです．ひき算バージョンも，掲載されていました．