ABCD×9＝DCBA - わさっきhb

　いきなりですが問題です．

A，B，C，Dはいずれも0以上9以下の整数で，それぞれ異なるものとします．また「ABCD」と書いて，4桁の整数を表します（最上位桁は，0でないとします）．
ABCD×9＝DCBAを満たすA，B，C，Dを求めなさい．

　元ネタです．

細水保宏: 根拠を元に筋道立てて考えるって楽しい!, 算数授業研究, 東洋館出版社, Vol.115, pp.24-25 (2018). isbn:9784491034898

　小学生でも求めることのできる，覆面算の一つです．元ネタには筋道がきちんと書かれていますが，ABCDの4桁に限らず任意桁にしても，そしてかける数を2以上9以下の整数に範囲を広げても，計算機ですべての解を出してくれそうだなと考えまして，Rubyで書きました．ソースファイル(fukumen.rb)は以下のとおりです．

#!/usr/bin/env ruby

digit = (ARGV.shift || 4).to_i

2.upto(9) do |q|
  min = 10 ** (digit - 1)
  max = 10 ** digit - 1
  min.upto(max) do |p|
    a = p.to_s.chars.map { |c| c.to_i }
    next if a.length > a.uniq.length
    product = p * q
    p_rev = a.reverse.join.to_i
    if product == p_rev
      puts "%d * %d = %d" % [p, q, product]
    end
  end
end

　プログラムの解説をします．変数qがかける数（2から9まで），変数pがかけられる数（digitが4のとき，1000から9999まで）です．「a = 」から始まる行は，変数pが保持する整数値を，1桁ごとに区切って配列とし，変数aに代入しています．例えばpの値が1357のとき，a = [1, 3, 5, 7]となります．次の「next if a.length > a.uniq.length」は，問題文に書いた「それぞれ異なる」のチェックをしていまして，配列の中に同じ数になるものがあれば，ifの条件式を満たすことになり，それ以降の処理を行わない（次の整数に移る）というものです．
　pとqの積をproductに，またaを逆順にしてから1個の整数値にしたものをp_revに代入し（a = [1, 3, 5, 7]のときprev = 7531），productとp_revの値が等しければ「当たり!」となるわけです．
　このプログラムを実行すると，ABCD×E＝DCBAの解がすべて得られます．次のようになりました．

$ ruby fukumen.rb
2178 * 4 = 8712
1089 * 9 = 9801

　元ネタのp.25に記載の解と同じです…と思いきや，「そして，2178×4＝8721を自分の力で発見するであろう。」と，積に誤記が入っていました．
　プログラムは引数を1つとり，これが，かけられる数の桁数となります．5桁，すなわちABCDE×F＝EDCBAについても，解がありました．

$ ruby fukumen.rb 5
21978 * 4 = 87912

　他の桁数，具体的には2や3や，6以上では，解なしでした．桁が多くなると，「それぞれ異なる」を満たす割合が下がるので，桁数をむやみに増やしても意味がありません．
　条件を緩めます．「それぞれ異なるものとします」を除外して，解を求め直してみます（被乗数および積の最上位桁は0にならないこと，乗数は2以上9以下であることは，維持します）．「next if a.length > a.uniq.length」の先頭に「#」をつけ，処理の対象外とするだけです．
　この場合にも，2桁や3桁のときは，解なしでした．4桁（デフォルト）の解は上記と同じでしたが，5以降が変わってきました．

$ ruby fukumen.rb
2178 * 4 = 8712
1089 * 9 = 9801
$ ruby fukumen.rb 5
21978 * 4 = 87912
10989 * 9 = 98901
$ ruby fukumen.rb 6
219978 * 4 = 879912
109989 * 9 = 989901

　規則性が見えてきます．「219...978×4＝879...912」「109...989×9 = 989...901」という式で表せます．いずれも「9...9」は，0個を含む「9」の連続した並びです．念のため，bcコマンドで「219999999978*4」を計算させてみると，出力は879999999912でした．
　こういう数は数学的に検討済みだろうなと思い，検索してみると，https://oeis.org/A078273の中に，「a(2178) = 8712, a(21978) = 87912, a(219978) = 879912, etc... with a(n)/n = 4」というのを見つけました．そこでリンクされている，https://oeis.org/A008918は，「4倍して数の並びが逆順になる整数」であり，https://oeis.org/A001232は「9倍して数の並びが逆順になる整数」です．4倍のほう，間に9の並びを挟むだけでなく，「2178？2178」として，「？」に0の並びや，21978を挟む（2178219782178×4＝8712879128712）というのも，該当するのでした．
　「219...978×4＝879...912」は，数学的帰納法で証明できそうです．9の並びの数をn（n≧0）としたとき，かけられる数を，p(n)＝ $21\cdot10^{n+2}+(10^n-1)\cdot10^2+78$ ，そしてかけ算の結果を，r(n)＝ $87\cdot10^{n+2}+(10^n-1)\cdot10^2+12$ と表せます．証明したい式はr(n)＝4p(n)です．
　n＝0のときは，2178×4＝8712ですので成立します．
　n＝kのとき成り立つと仮定します．この仮定はあとで使うことにして，p(n)の定義より，p(k+1)−p(k)＝ $22\cdot9\cdot10^{k+2}$ となります（k=0のとき，この右辺は19800であり，21978-2178も同じ値です）．同様に(k+1)−r(k)＝ $88\cdot9\cdot10^{k+2}$ となり，r(k+1)−r(k)＝4（p(k+1)-p(k)）です．r(k+1)−4p(k+1)＝r(k)−4p(k)と変形すると，帰納法の仮定から右辺が0となるので，左辺も0であり，r(k+1)＝4p(k+1)を得まして，これは，n＝k+1のときにも成り立つことを意味します．
　「109...989×9 = 989...901」のほうは，同様に式をおいてひき算をすると， $9\cdot10^{k+2}$ の11倍と99倍が出てきます．

（最終更新：2019-05-29 深夜．Rubyコードの解説を充実させました）