いきなりですが問題です．
定規とコンパスがあり，正三角形と正整数nが与えられたとき，その内部に線を引いて小さな正三角形をつくり，その面積は，もとの正三角形のn分の1となるような，作図の手順を答えなさい．
以下，は√xで表します．必要に応じてカッコを使用し，範囲を明確にします．
はx^2と表記します．
作図の前に検討です．面積比が1：（n分の1）ということは，相似比すなわち辺の長さの比は，1：（√n分の1）となります．
そこで次の問題にします．
定規とコンパスがあり，線分と正整数nが与えられたとき，その内部に点をとり，線分の一つの端点と，とった点とを結んでできる線分の長さが，もとの線分の√n分の1となるような，作図の手順を答えなさい．
上記で「√n分の1」が「√n倍」だったら，中学の知識で作図が可能であり，三平方の定理をもとに，なぜ「√n倍」になるのかを説明できます．
√n倍を得るための，作図の手順は次のとおりです．まず与えられた線分を一辺とする，正方形を描きます．線分を伸ばして直線にしてから，その直線と垂直に交わり，線分の一つの端点を通る直線を引きます．次にその交点を中心とし，与えられた線分の長さを半径として円を描くと，垂線として引いた直線とは，交点が2つでき，どちらか1点を選びます．これが正方形の3つめの頂点です．最後の頂点は，3つめの頂点を中心として，先ほどと同じ半径の円を描き，直交しない方の，線分の端点を中心として，同じ半径の円を描いたときの，交点（与えられた線分上にない交点は，1つだけです）となります．
垂線の交点と，最後に得た頂点とを結ぶと，正方形の対角線となり，その長さは，もとの線分の√2倍となります．
ここから√3倍，√4倍，...，√n倍の長さの線分を得るには，ここまでの作図の中で，与えられた線分を直線にしたものと，正方形において与えられた線分と向かい合う辺を直線にしたもの，これら2本の平行線を用います（2本の直線の距離は，与えられた線分の長さと等しくなります）．先ほど得た，√2倍の長さの線分は，2本の平行線の両方に交差していますが，その交点の1点を中心，その線分の長さを半径として円を描くと，中心を通る直線との交点は2つあり，どちらか1点を選びます．その点を通る（両方の平行線の）垂線を引き，他方の平行線との交点を求め，その点と，円を描いた際の中心とを結べば，長さは√（（√2）^2＋1^2）＝√3となります．
一般化するとこうです．√k倍の長さの線分を，2本の平行線の両方に交差する形で描いてあったとき，その交点の1点を中心，その線分の長さを半径として円を描くと，中心を通る直線との交点は2つあり，どちらか1点を選びます．その点を通る（両方の平行線の）垂線を引き，他方の平行線との交点を求め，その点と，円を描いた際の中心とを結べば，長さは√（（√k）^2＋1^2）＝√（k＋1）となります．
原理的には，この繰り返しで，√n倍の長さの線分が求められます．ただしnの値によっては，作図の手間を減らすことも可能で，例えばn＝17だったら，√2，√3，...とやるよりは，与えられた長さの2倍，そして4倍の線分を作り，上と同様に，与えられた線分の長さを距離とする平行線を引けば，√（4^2＋1^2）＝√17の長さの線分を得ることができます．
ここまでの結果をもとに，長さがもとの線分の√n分の1となるための作図を考えます．
そろそろ面倒になってきたので，点に名前をつけておきます．与えられた（長さの）線分をABとし，与えられた線分と別に，適当な長さの線分をとってPQとし，その√n倍の長さの線分はPRとして作図しておきます．PQ：PR＝1：√nであり，PR：PQ＝1：（√n分の1）となります．
次のステップに行く前に，特定の条件を満たすものを見つけてショートカットしておきます．AB＝PRにもし，なっていたら（コンパスで測りとれば，判定できます），線分ABに対し長さがその√n分の1になっているのは線分PQでおしまいです．以下，AB＝PRでない場合の手順を書きます．
1本，直線ABの平行線を引き（直線間の距離は，ABと等しくても，そうでなくてもかまいません），直線lとします．直線l上に適当に1点をとりP'とします．直線l上で，P'R'＝PRとなるような点R'（2点ありますが一方を選びます）をとります．線分P'R'の内部に，P'Q'＝PQを満たす点Q'（これは1点だけです）をとります．
AB≠PR＝P'R'で四角形AP'R'Bが平行四辺形にはならず，その一方で四角形AP'R'BはAB‖P'R'の台形ですので，直線AP'と直線BR'は平行ではありません．この2直線の交点をOとします．そして直線OQ'と直線ABとの交点を，Cとします．
そうすると，AB：AC＝1：（√n分の1）です．というのも，△OAB∽△OP'R'および△OAC∽△OP'Q'が成り立ち，前者の相似からOA：OP'＝AB：P'R'，後者の相似からOA：OP'＝AC：P'Q'が言え，AB：P'R'＝AC：P'Q'となります．これは，AB：AC＝P'R'：P'Q'と表すことができます．P'R'：P'Q'＝PR：PQ＝1：（√n分の1）ですので，線分ABの長さと1とするとき，線分ACの長さは，その√n分の1となるという次第です．
上のほうに，「√n倍」だったら，中学の知識で作図が可能，説明も可能と書きましたが，実は「√n分の1」も，作図可能・説明可能でした．比の中に根号が入るのは，教科書に直接，記載がないかもしれませんが，3つの角の大きさが30°，60°，90°の直角三角形の辺の比は，1：2：√3として，活用されてきたわけです．
図は暇なときに（定規とコンパスではなくSVGで）作成します．
