どうして0でわっちゃいけないの?と図にするが，駄文にゅうすさんとこからリンクされました．感謝です．
それで，図と，その直後の文章を見直したところ，４÷５，９÷０，８÷０の値はそれぞれ，分数で書くほうが自然なことに気づきました．
図を修正します．
(a) 一つめの数が4，二つめの数が5
(d) 一つめの数が9，二つめの数が0
(e) 一つめの数が8，二つめの数が0
「(b) 一つめの数が6，二つめの数が6」と「(c) 一つめの数が0，二つめの数が8」は変更ありません．それと，冒頭で書くべきだったのですが，本日のエントリは小学校3年生に話せる内容を大幅に超えています．
図の左半分も，見直しておきます．９÷０×０＝９，８÷０×０＝８を満たすよう，９÷０の答えの「０」と，８÷０の答えの「０」とを，区別するという方法は，どうでしょうか．例えば，分数と同様に，一つの数を，分子と分母にあたる2つの整数の組であらわし，分母が０になってもよいという考え方です．分数と同様の演算（加減乗除，通分・約分）を認めれば，９÷０×０＝（９／０）×０＝９と計算できます．ですがこの場合には，９＝８が証明できてしまいます．
図にする
上の内容をリリースする前に，メモ書きしていた，証明の概略は次のとおりです．０／９×９／０＝１および０／８×８／０＝１より，０／９×９／０＝０／８×８／０．両辺に左から７２／１をかけると，左辺＝７２／１×０／９×９／０＝（８×０／１）×９／０＝０／１×９／０，右辺＝７２／１×０／８×８／０＝（９×０／１）×８／０＝０／１×８／０．さらに両辺に左から１／０をかけると，９／０＝８／０．両辺に０をかけると，９＝８．証明終．なのですが，使用した性質を書き出すのも，大変です．
数日考えていて，もっと楽なのが見つかりました．９÷０×０＝９／０×０＝９が成立する，すなわち「９／０」を分数のように扱えると仮定したとき，９／０×０×０を計算すればいいのです．９／０×０×０＝（９／０×０）×０＝９×０＝０，９／０×０×０＝９／０×（０×０）＝９／０×０＝９が得られるので，０＝９です．ここで９は，任意の数に取り替えることができます．９＝８でも何でもご自由に，となります．
この導出をもとに，次のことが言えます．すなわち，実数全体からなる集合Rに対して，その零元0が逆数0^-1を持つようなR'を構成します．その際，0^-1が含まれる演算は適宜定め，含まれない場合には実数体Rにおける演算と同じとします．以上の仮定のもとで，R'は乗法の結合法則を満たしません．
その際，0^-1を∞と書いてR'＝R∪{∞}としても，0^-1をRの中から選んで（例えば0^-1＝0），R'＝Rとしても，そのことは論証に影響しません．不可欠なのは，R'が，加法と乗法について閉じている（そのように，Rを拡張しつつ適宜定める）ことです．
そう考えていくと，自分の関心が「９÷０は何か?」「０÷０は，どんな値になるべきか?」ではないことに気づきます．「なんとか÷０」が一つの値になるよう，わり算を定めると，それまで成り立っていた演算の性質が成り立たなくなるか，または数は「０」だけになる（８も９も，０と同一視しなければならない）という次第です．
んで駄文にゅうすさんとこからリンクされている，四一郎さんの「0で割る話」 - Togetterも読みました．本編の，
が，最もわかりやすい3年生向けの説明になっていると思います．
後ろのコメントが長くて驚きですが，何とか読み通しました．かけ算の順序論争もほんのり入っています．足算と引算と割算のそれぞれで，二つまたはそれ以上に分類できるのを認めていながら，掛算に対してもそういった分類ができる*1ことを言及しないってのには，ふたたび驚きでした．
言うまでもなく個人的には，このゼロ除算の件と，いわゆるかけ算の順序論争を，並べるのには無理があると思っています．ゼロ除算については，学習指導案（というより，ゼロ除算を学習したとしてそれが将来，何に活用できるかの検討）も，1個の学級・学校を超えた外在的評価のためのテスト問題も，見たことがないし探しても無駄だからです．
（最終更新：2012-12-14 早朝．駄文にゅうすさんとこのURLを変更し，(d) (e)の図を正しく配置しました．）
*1:頭の中で「できる」にとどまらず，文献もいくつかあります．用語:倍と積 - 「×」から学んだこと@wiki - アットウィキで整備しています．
