古くて新しい掛算 - Togetterの中から，いくつかツイートを取り上げ，思うところを書いていきます．
1. 10人＋5人
「はじめにリンゴが幾つかあって，その中から5個食べたら7個残った。はじめに幾つあったか」だったら，式は5＋7でしょうか7＋5でしょうか，どちらでもいいでしょうか．
これは小学校学習指導要領解説 算数編に載っている出題例で，そこでは7＋5の式を採用しています．一方，ある学力調査で，同様の問題についてどちらでもいいとしている（と読める）ものがあります．
出題と正解不正解については足算の順序で，たし算とかけ算の違いについては被加数・加数の順序で書いてきました．
小学校の出題例を観察している限り，
- たし算については，たされる数とたす数が明確に区別される「増加」よりも，それらが実質的に区別されない「合併」のほうが支配的
- かけ算については，かけられる数とかける数が明確に区別される「倍」のほうが，それらが実質的に区別されない「積」よりも支配的
という傾向があるように思っています．
2. 4個×3人＝12個・人，3人×4個＝12人・個
「4個×3人＝12個・人」「3人×4個＝12人・個」には，賛成できません．
というのも，食料品や生活用品に目をやると，「2枚×2袋」や「1.5kg×4箱」のように，一つ分の数量を×の左，いくつあるかを×の右に書く表記が簡単に見つかるからです．総量の単位は，×の左と同じです（右の単位は，総量に反映されません）．
事例の画像集はhttp://f.hatena.ne.jp/takehikoMultiply/を，事例の分類は学校の外で「×」をご覧ください．食料品・生活用品は意図的な着眼点でして，別のものに目を向けると，レシートでは「単価×数量」も「数量×単価」もあります．しかしそれは，会計の慣例が入っており，別扱いとしたほうがよいと理解しています．
3. サンドイッチ方式
批判する人々の間では，- 「掛け算順序固定」問題対策本部 - アットウィキが人気のあるページです．
当ブログでは，「サンドイッチはくだらない・2012年8月バージョン」と題して，数学的な背景や主だった批判など，2回に分けて解説を書きましたので，ご笑覧いただければと思います（1, 2）．どんな手法にも，その適用が効果的な状況とそうでない状況がある，というだけの話です．
4. 文章題を数式にする過程，計算する過程，回答の過程
その3つが区別され，1枚の図で表されたものがあります．
「ファンタジーの法則」と呼ばれます．当ブログでの上の図の初出は，こちらです．文章の引用は，こちらで行っています．
ただ残念ながら，記憶が間違っていなければ，『プログラマの数学』の作者・[twitter:@hyuki]さんは「非順序派」です．
上でも書きましたが，個人的には，かけ算は「倍の乗法」と「積の乗法」に大別されるなあという認識があります．小学校では，倍の乗法を優先して学習するので，かけられる数とかける数の区別がなされます．そして，それらを逆にして書くと，「意味が違う」のです．
トランプ配りで考える子は，本から読める授業例では現れませんし（今年出た本からだと，北数教），仮にそういう子がいたとしても，「問題解決型の授業」の比較検討の段階で，その式（期待されるかけ算の式から，かけられる数・かける数を交換したもの）では別の解釈ができてしまうことになり，その考え方はよくないという流れになるように感じています．子どもたちは，問題解決型の授業で，「式」から「考え方」を推定しているの中で，検討しました．1つの場面でa×bかb×aかを問うだけでなく，2つの場面を同時に提示して，一方はa×b，他方はb×aと書くことが期待されるような出題例も見てきています．
5. 助数詞，単位
私は，「人」や「個」は助数詞（無次元）として扱うべきケースも，単位とみなすのがよいケースもあるように感じています．
単位になるのは，小学校で学習する範囲でも出てきて，それは「人口密度」「混み具合」です．混み具合は，単位面積当たり何人いるかだったら［人/m^2］，1人がどれだけの面積を占めるかだったら［m^2/人］といった単位で表されます．いずれも，この中の「人」を無次元とすると，値の意味づけに困ります*1．
人数は普通，分離量ですが，人口密度もしくは何らかの平均を求めれば，その値は連続量と見なすことができます．人口密度に面積をかけて出る値は，人数の推定値であり，単位は「人」でも連続量として扱うのがよさそう---物理量と同等な取り扱いができます．
ツイートを引用しませんが，「［人^2］」は理解に苦しみました．
なお，数・量・単位については，数学者による「かけ算の順序」でいくつか取り上げ，新たなかけ算のサンドイッチで提案を試みています．
6. 3人×6人，3人/列×6列
発端のツイートが見つかっていないけれど，とりあえず，「子どもたちが1列に3人ずつ6列ならんでいます．子どもたちはみんなで何人いますか」と，問題文を定義しておきます．ちなみにこれは，遠山啓が1972年に書いた「6×4，4×6論争にひそむ意味」の一節の改題です．
遠山の主張は，「3×6でも，6×3でもいいとせざるをえないだろう」となります．それに対し[twitter:@mbnife]さんの主張は「3人/列×6列＝18人」です．
そこには2つの論点があるように思います．定義した問題に対して，単位を書かないとすれば，“3×6のみ”か“3×6でも6×3でもいい”か，それと，3×6という式に単位を添えるなら“3人/列×6列”か“3人×6人”か（他にあるか），です．
一つ目の論点については，出題の仕方次第，あるいは挿絵次第で，“3×6のみ”にも“3×6でも6×3でもいい”にもなります．イラストを工夫して，1つだけにしている出題例を，教え方のプロ・向山洋一全集の中で見てきました（イラストを含む該当ページは載せていません）．TOSS vs AMIという比較も，やってみたのでした．
論点を単位に移すと，パー書きを使った“3人/列×6列”のほか，乗数の単位を書かない“3人×6”もまた，有力な書き方となります．“3人×6人”と書いた上で，サンドイッチ（乗数の単位を無視する）で計算して18人とすることも，可能です．
以上より，“3人/列×6列”しか考えられないと言うのが，コミュニケーション阻害のもとになっているように思っています．
なお，添える単位の分類については，「かけ算の順序」のダブスタ考で3種類を示しています．Vergnaudの示した2種類の考え方を，量や単位にも注意しながら，自分なりに見直して次のステップの最後に書きました．
連続量と分離量とで，かけられる数量・かける数量・積がどのように違うのかについては，平方個で図を作りました．昔むかしは「古記に言う，田は長三十歩，広十二歩を段とする．段積は三百六十歩」として，長方形の縦も横も面積も，単位が「歩」となる記載例があったそうです（面積の発見）．
Q: takehikomは，@mbnifeさんの味方なの敵なの?
味方にも敵にもなりません．「うわあ，ごくろうさんだなあ」と思ったツイートがあったので，Togetterにして，いくつか拾い上げた次第です．
これは書いてもいいかな…いくつかツイートを見たところ，だいたい2年前くらいの自分の言動に似ているなあと思いました．なので本日の記事は，2年前の自分向けの情報整理，という意味合いもあります．
*1:しかし小学校では，次元といった概念を学習しないのに加えて，［人/m^2］ではなく「1m^2当たり○人」「一人当たり○m^2」といった考え方・書き方をするので，特に問題にならないようにも見えます．
