いきなりですが問題です．
「-3」という数を，マイナスの符号を使わず0と1だけで表すには，どうすればいいでしょうか．
さ
っ
そ
く
で
す
が
解
答
です．情報系の学部1年生には，次の3種類が思い浮かんでほしいと願っています．
- 符号ビットと絶対値で表す．
- 補数表現を用いる．
- "-3"を文字列として，1文字ずつ表してから連結する．
準備
「1ビット」あるいは単に「ビット」を，0か1の1文字（2進1桁）という意味とします．
2進数の複数の桁を一括して扱うときは，「nビット」と書きます．nには具体的な数（8など）が入ることもあります．
2進数の桁数を「ビット数」と呼びます．0000, 0001, 0010, ...は，いずれもビット数が4となります．ビット数が異なれば，値も異なるものとします．例えば，0と00と0000は異なる値です．
nビットあれば，種類の異なる状態を表現することができます．
符号ビットと絶対値
整数（正，負，0のいずれか）を，nビットで表現することにします．そのうち1ビットだけ「符号ビット」として扱います．マイナスの符号がつかないときは0，つくときは1とします．
残りn-1ビットで，数の絶対値を，2進数で普通に表現します．
「-3」だと，符号ビットは1，そして絶対値3の2進表現は11です．
nをいくつにするかは，そのあとで決めます．といってもn＜3だとまずいので，n≧3とします．n＝3だと，111です．n＝8だと，10000011と書けます．左端の「1」が符号ビット，残りが絶対値です．
符号ビットと絶対値で表す場合，「0」と「-0」が別々の表現となります．n＝3の場合，-3, -2, -1, -0, 0, 1, 2, 3の8種類を表現できます．
補数表現
補数表現を用いる場合，まずビット数を決めておきます．ここでは8とします．
もう一つ，決めごとがあります．2進数だと，「1の補数」と「2の補数」のどちらを選ぶかです．
1の補数は，各ビットの0，1を反転すれば出来上がりです．2の補数は，1の補数に1を加えたものとなります．いずれにせよ，-xは，xの「1または2の補数」*1によって表わされます．
10進数の-3については，まず符号を取り除いた3を8ビット（2進8桁）で表すと，00000011となります．
1の補数は，各ビットの0，1を反転すればいいので，11111100です．
2の補数は，そこに1を加えればいいので，11111101です．
補数は，検算ができます．xの「1の補数」の「1の補数」は，xです．xの「2の補数」の「2の補数」も，xです．
11111100の「1の補数」は，各ビットの0，1を反転すればいいので，00000011です．
11111101の「2の補数」を求めるため，まず「1の補数」を求めます．各ビットの0，1を反転すればいいので，00000010です．そして1を加えると，00000011です．
いずれも，00000011の「1または2の補数」の「1または2の補数」は，00000011となっています．
今回の例では，1を加える際に繰り上がりが見られませんでしたが，繰り上がりが発生する場合もあります．また，もとの数とその「2の補数」が同じとなるものもあります．00000000の「2の補数」は00000000，10000000*2の「2の補数」は10000000です．
計算機ではよく，2の補数表現が採用されます．これは，nビットならに着目した演算が効率良く行えるためです．先ほど-3は，2の補数によって11111101となると書きましたが，これを補数ではなく，普通に2進数とみなして，10進数に変換すると，253となります．
1を加えた11111110は254であるとともに-2です．さらに1を加えた11111111は255であるとともに-1です．もう一つ，1を加えると00000000（8ビットを前提とするので，最上位の繰り上がりを無視します）であるとともに0です．
このようになるのは，と
が同一視されるからです．
文字列
文字列，あるいは文字の並びとして見るときは，文字コードを選ぶことから始めます．ここではASCIIを採用し，最上位ビットは常に0として8ビットで各文字を表すことにします．
"-3"だと，"-"のASCIIコードは00101101，"3"のASCIIコードは00110011，なのでくっつけて，00101101 00110011が，一つの表現となります．
他には，文字列には終端文字が含まれるとすることもできます．C言語はこの考え方です．終端文字には，どのビットも0の値，2進8桁で表すと00000000を採用します．そうすると，"-3"は00101101 00110011 00000000となります．
まとめ
- 符号ビットと絶対値：10000011
- 1の補数表現：11111100
- 2の補数表現：11111101
- 終端なしの文字列：00101101 00110011
- 終端ありの文字列：00101101 00110011 00000000
とはいえ，これですべてではありません．一つの固まりのビット長を変えれば，他の値になるわけですし，文字列についてはASCII以外の文字コード（例えばEBCDIC，UTF-16）を選べば結果は変わってきます．「バイアス」は，IEEE 754の指数部表現で使われています．
別名集
- 連結：concatenate，cat，連接
に着目した演算：
- 最上位ビット：MSB（most significant bitの頭文字）
- 終端文字：ナル文字，ヌル文字
- バイアス：エクセス，下駄を履かせる
