「1」ばかり出てきますが10進法を前提とます．1は，自然数です．11も，111も，1111も，自然数です．
「111...1」により有限桁で表される値は，自然数です．n桁のとき，その数はとなり，nに任意の正整数を代入して，どの場合にも正整数となることが確認できます．
では，「111...」と，1を無限に並べたものは，自然数となるでしょうか．
上の式でnを∞に置き換えると，発散するので，それは自然数全体からなる集合Nに属さない，というのが，素直な考え方です．
別の方法でも，Nに属するとすると，おかしくなることが示せます．「111（無限個の1）1」の値をxとおき，x∈Nと仮定します．このxに対し，10x+1を考えます．これは，xのそれぞれ桁の数（どれも1ですが）を一つ上の位に移動し，一の位を1とした数です．
xと区別するよう書くなら，「111（無限個の1）11」です．
なのですがこれは，xそのものです．
そこでx=10x+1という一次方程式が成り立ちます．これを代数的に解くとです．しかし上のとおり，そのような負の分数と異なる「111（無限個の1）1」もまた，この一次方程式の解となるというのです．これは，「複素数係数の任意のn次多項式は，複素数の根を（重複度込みで考えれば）ちょうどn個持つ」 （wikipedia:代数学の基本定理）と矛盾します．
他の「無限の並び」も同様です．結局のところ，「無限桁の自然数は存在しない」のです．
このことに基づくと，対角線論法は，次のとおりとなります（全称記号の使いどころ）．
- 区間[0,1]*1は可付番（可算）ではない．可付番と仮定したとき，要素をどのように数え上げても，（その数え上げに依存して定まる）xについて，x∈[0,1]（xはその区間の要素である…数え上げの中に入っていなければならない）であり，しかしxはその数え上げの中に出現しないので，矛盾となる．
- 自然数全体からなる集合Nについて，ある数え上げ（具体的には，昇順）に対して，対角線論法で用いられる手続きでxを構成すると，x∈Nではない（xは自然数ではない…数え上げの中に入っていなくてよい）ので，矛盾は生じない．
無限を含む演算は，取扱注意なのですが，上のような「素朴な考え方」は，個人的には中学で最初に見かけました．0.111…がとなる証明*2を，数学の教科書の囲み記事で読みました．
次の機会は，大学2年の専門科目で，母関数を学習したときです．wikipedia:母関数の「通常型母関数」には，当時を思い出す式がいくつかありました．
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（最終更新：2013-11-04 朝．長野県松本市の静養先より／昼過ぎに修正）
