正解とする6つの理由，不正解とする6つの理由
「さらが 5まい あります。1さらに りんごが 3こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」という出題と，「しき」と「こたえ」を書く欄があります．
子どもは「しき」に「5×3＝15」，「こたえ」に「15こ」と書きました．すると「こたえ」はマル（正解）だけれど，「しき」のほうがバツ（不正解）で，赤で「3×5＝15」と添えられています．
これに対し，さまざまな理由で，「5×3＝15」も正解とすべきだという主張がなされています．インターネットのみならず，『かけ算には順序があるのか』をはじめ書籍でも，取り上げられています．
その理由について，主要なものを選び，リストにしてみました．
- A-1: かけられる数とかける数は交換可能である．乗法の交換法則により，5×3＝3×5が成り立つ．
- A-2: トランプ配りをすれば，かけられる数とかける数を交換できる．上の問題だと，「5個ずつ3回」になる．
- A-3: りんごを長方形に配置すれば，その総数は5×3で表すことができる．
- A-4: 皿の枚数をかけられる数，1皿あたりのりんごの数をかける数と見なせばよい．
- A-5: 単位を付けて書くと，「5×3個」と「3個×5」，「5枚×3個/枚」と「3個/枚×5枚」は，それぞれ同じである．
- A-6: 他の国では，式で表したとき，かけられる数とかける数の位置が反対になる，もしくは，どちらでもよい．
「5×3＝15」を不正解とする理由についても，主要なものを並べておきます．
- B-1: この問題では，1皿あたりのりんごの数がかけられる数であり，皿の枚数がかける数となる．
- B-2: 5×3と3×5は，かけ算の答えは同じでも，意味は異なる．
- B-3: 5×3＝15の式では，皿の数とりんごの数が反対である．
- B-4: 5×3＝15の式では，積は皿の枚数になってしまう．
- B-5: 単位を付けて書くと，「5個×3」と「3個×5」，「5個/枚×3枚」と「3個/枚×5枚」は，それぞれ異なる．
- B-6: 言語や文化の違いに配慮しながら式で表すことが教育上有益である．
正解にせよ，不正解にせよ，複数の理由を用いて論じられていることがあります．私としては引き続き，このリストを手直ししていきながら，それぞれの主張と理由（賛否も）とを結びつけ，算数教育の歴史の構造化・可視化を試みるとともに，これからの行く末を見守ることとします．
6×2 reasons behind "order-of-multiplication" disputes
In Japan, elementary school pupils solve word problems in a special form. For example:
"There are 5 dishes and 3 apples are on each dish. How many apples do you have altogether?" is the problem statement. There is attached an answer column for the math sentence and the conclusive quantity. The pupil wrote in "5 x 3 = 15" and "15 apples". After that, the sheet was red-penciled so that the total number might be right but the sentence wrong; the correct sentence is "3 x 5 = 15". Note that in Japan a circle and a cross are marked in a red pen to indicate the correct and the incorrect answers respectively. In addition, the pupils learn the multiplicative sentence in which the multiplicand lies to the left of the symbol "x" and the multiplier the right in the second grade.
The instruction of multiplication like this has been controversial, which is called a "order-of-multiplication" dispute. The critics, some of whom are engaged in math education, raise concern about the way of teaching that "3 x 5" is one and only one correct answer to the above problem and the teacher puts a cross in a red pen on "5 x 3".
Here I am posting a list of the dominant reasons why "5 x 3" should be a correct answer as well, based on copious amount of Internet resources (Web pages, blogs, forums, tweets, ...) and documents in print.
- A-1. Two factors are commutative. By the commutative law of multiplication, 5 x 3 = 3 x 5 holds.
- A-2. A "dealing-out" operation can swap the roles of multiplicand and multiplier; we can write "5 apples/round x 3 rounds = 15 apples".
- A-3. We can write "5 x 3" by arranging the apples in a rectangle shape.
- A-4. We can recognize the number of dishes as the multiplicand (or the basic quantity) and the number of apples per dish as the multiplier.
- A-5. With counters*1 attached, "5 x 3 apples" and "3 apples x 5" are equivalent, and so are "5 dishes x 3 apples/dish" and "3 apples/dish x 5 dishes".
- A-6. In other countries, they write the multiplicand and the multiplier oppositely or do not think that the order matters.
To be fair, I would like to provide the principal reasons for the wrong answer.
- B-1. In this case, the number of apples per dish is the multiplicand while the number of dishes is the multiplier.
- B-2. "5 x 3" and "3 x 5" differ in meaning, although the products are the same.
- B-3. "5 x 3 = 15" shows the opposite situation regarding the numbers of apples and dishes.
- B-4. "5 x 3 = 15" leads to 15 dishes but not apples.
- B-5. With counters attached, "5 apples x 3" and "3 apples x 5" are different, and so are "5 apples/dish x 3 dishes" and "3 apples/dish x 5 dishes".
- B-6. Writing expressions in consideration of language and cultural differences is educationally valuable.
Whether correct or wrong, opinions often accompany more than one reason. I will associate such opinions with the proposed reason patterns (and with approval or disapproval) while keeping the lists, to organize and visualize a history of math education and to see what happens in the future.
メモ
問題文やいくつかの記述は，一昨年に書いたものを使用しています．
「複数の理由」について，少しだけ事例を挙げておくと，遠山啓「6×4，4×6論争にひそむ意味」は，A-1, A-2, A-3を指摘しています．http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130928/1380313669で紹介した2つの解説は，ともにA-1は根拠として適切でないとしており，一方はA-2とA-4，もう一方はA-3を根拠に，正解になり得るとしています．
私自身がコミットしてきたのは，一つはB-2（http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130204/1359989997），それと別のアプローチはA-2, B-3, B-4の結びつき（http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130316/1363388038, http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20111227/1324932859）です．
ラベリングにAとBを用いていますが，これはタイプA学習，タイプB学習を念頭に置いています．2つに分けた上で融合を図っていきたいというのは，本日の記事にも当てはまります．頭文字とみなして，単語を探すなら，Aについてはaccepted，Bのほうはbannedでしょうか．
追加メモ（2013年12月3日）
- B-2の誤記（和英とも）を修正しました．
- 当記事の内容を充実させ，かけ算の順序論争 (2013.11)を作りました．日本語版・英語版・韓国語版を読めるようにしましたので，どうぞご覧ください．
*1:See wikipedia:en:Japanese_counter_word. In math education researches, the notion of "referent" seems interesting; see Schwartz, J. L. (1988). "Intensive quality and referent transforming arithmetic operations". isbn:0873532651
