0.111...は? - わさっきhb

いきなりですが問題です．

0.111...を，簡単な数で表しましょう．

x = 0.111...とします．すると，10x = 1.111...です．
筆算で，10x - xを行います．上の段に「10x = 1.111...」を，下の段に「x = 0.111...」と書いて，等号を揃えます．左辺は10x - x = 9xです．右辺は，小数点以下がすべて打ち消されまして，1 - 0 = 1です．
9x = 1の両辺を9で割って，x = 1/9が答えです．
具体的な数は異なっていましたが，循環小数を上のようなやり方で，分数に変換する問題は，中学2年か3年の数学の教科書に載っていたと記憶します．
「x = 0.111... ならば 10x = 1.111...」や「小数点以下がすべて打ち消される」は，もちろん，厳密さを欠いているところで，きちんとやるには極限などの道具立てが必要です．
極限という言葉は用いないにしても，円の面積の公式を導くにあたり，円を細かく切って並べ替えると，平行四辺形または長方形になるというのは，小学6年で習った（今も習っている），極限をとる操作です．
それはさておき，問題です．

2進数で表された0.111...を，簡単な数で表しましょう．

上と同じやり方で，0.111... = 1と分かります．
一般化を試みてみます．

N進数で表された0.111...を，簡単な数で表しましょう．

N進数で用いられるいわゆる数字を，0, 1, 2, ..., Mとし，Mがその中で最大とします．すなわちM + 1= Nであり，N進記法ではMに1を加えた数は10となります．
上と同じやり方で，0.111...は，1/Mとなります．この結果は，N=2およびN=10の場合を含んでいます．言葉にすると，N進数で用いられる，0の次に小さい1桁の数を，N進数で用いられる，最も大きな1桁の数で割ったもの，となります．

関連：

それと，wikipedia:カントールの対角線論法には，「自然数の集合と[0, 1]区間の濃度の違い」という項目があり，「そしてbを小数点展開が0.b1 b2 …となる実数とする。このとき、bはa1, a2, …のいずれとも異なる」と書かれていて，びっくりしました．二進数展開に基づく場合，a1, a2, …の構成次第で，b = 0.111... = 1となり，数列aの中に1.000... = 1があると，都合が悪いことになります．
不審に思いながら，読み進めると，脚注に「aiの二進数展開が2つある事もある(例えば0.1 = 0.01111…)為、本当はこの部分の証明はもう少し複雑になる。」と記されていました．区間を[0,1)にする（1を含まない）としても，都合が悪い状況が作れることを示唆しています．
どこかで読んだ本では，たしか「三進数展開」を使えば回避できたはずです．a1, a2, …を3進数で表したとき，aiの小数第i位が1なら0に，それ以外（0または2）なら1を，bの小数第i位とするわけです．これにより，bは（3進数で）0.X222... = 0.X'000... となるのを回避できます．ところで，3進数の0.111...は，2分の1なのですね．

*1:「実数の公理である」ではなく「実数の公理をもとに証明できる」であれば，違和感も減るのですが．これについては，http://anond.hatelabo.jp/20161026204445が詳しいですね．