何の前触れもない名指しツイートに，びっくりしました．
一連のツイートのうち，@takehikomが口を挟むまでは
- りんごの問題に対して「3こ/まい×5まい」「5まい×3こ/まい」「5こ/かい×3かい」と単位をつけて書けば，それぞれの違いを知ることができる．
を主張したいものと理解しました．後半は，比例と複比例の関連，それと，表におけるそれぞれの値の意味について，確認をお求めということでしょうか．
まず，こちらより言及したVergnaud (1983, 1988)ですが，書誌情報は次のとおりです．
- Vergnaud, G. (1983). Multiplicative Structures, In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes, Academic Press, pp.127-174. isbn:012444220X
- Vergnaud, G. (1988). Multiplicative Structures. In Hiebert, J. and Behr, M. (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Vol.2, pp.141-161. isbn:0873532651
このいずれかまたは両方を引用している，日本語の書籍や文献のうち，見てきたものを挙げておきます．
- 『算数・数学科重要用語300の基礎知識』p.187
- 『数学教育学の成立と展望』p.157
- 『授業に役立つ算数教科書の数学的背景』pp.9-10
- 柏木美穂: 算数・数学学習におけるわり算に関する研究 〜概念領域に焦点を当てて〜, 鳥取大学数学教育研究, Vol.13, No.10 (2011). http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu/mathedu/journal13_files/13-10.pdf
- 渡会陽平, 小学校算数科における乗除法の意味に関する学習過程の分析―G. Vergnaudの概念野理論を枠組みとして―, 数学教育学論究 (日本数学教育学会誌臨時増刊), 日本数学教育学会, Vol.97, pp.3-16 (2012). http://ci.nii.ac.jp/naid/110009518193/
ここ以外のブログから1件．といっても本文ではなくコメントです．
なお，VergnaudはWikipedia英語版にエントリがあります([https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9rard_Vergnaud])．Vergnaud (1988)のほうは，乗法の構造はこうだというよりも，かけ算・わり算でTheory of Conceptual Fields（概念野理論）を展開するのが中心になっていると理解しています．
ツイートにあったいくつかの疑問に対して，直接答えるというよりは，思ったことを書いていきます．
単位あるいは助数詞の有用性についてですが，「3こ/まい×5まい」「5まい×3こ/まい」「5こ/かい×3かい」といった書き分けは，りんごの文章題に対して，「3×5」あるいは「5×3」という式を書いたとき，教師や大人がどのようにその式を解釈するかを，もっともらしい式に記述したものとなっています．
「もっともらしい」を言い換えると，「算数としては認められていない」です．
算数の答案としては（そして日本では），りんごの文章題で正解となる式は「3×5」だ，というのが，算数教育の主流となっています．
何が主流で何が非主流かを知るには，Web上の情報のみならずいわゆる活字も含めて多読し，自分の頭の中で構築する作業が不可欠です．読むべき情報には，教師らが練り上げた学習指導案や，算数・数学教育の研究者が作成した教師向け解説書，そして出題や解答類型などが載っているテスト問題があります．
古い情報や国外の情報を，取り入れる必要も出てきます．例えば，パー書きの式について書かれた算数教育の英語文献をいくらか，知っていますが，そのように書くよう主張しているのではなく，式の解釈の仕方を述べたものばかりでした．
単位付きの式の解釈の多様性を，Web上で見るにつけ，もっとあるんだけどなあという思いを持っています．実際，りんごの問題に対して「5×3」という式を立てたら，「それだと3枚のお皿に5個ずつになっちゃうよ（5こ/まい×3こ＝15こ，5こ×3＝15こ）」や「それだとお皿が15枚になっちゃうよ（5まい×3＝15まい）」と解釈することができます．子どもがその種の発言をして，5×3はおかしいと展開する授業が多様に見られる一方で，「トランプのように配ると…」を先生が推奨する授業例が見当たらないのは，結局のところここが「ネット談義」と「算数教育の理想像」とのギャップなのかなと感じています．
「（時速）X（時間）の話は，「複比例」として考えることができます．」の件ですが，最初の最初は以下の記述です．
倍指向と積指向の整理《倍の乗法》を《積の乗法》で
次に，上の反対，すなわち《倍の乗法》を《積の乗法》に帰着することを試みます．
- 整数の乗法は，アレイ図で表します．
- 小数や分数を含む場合は，複比例の関係y＝a×bまたはy＝k×a×b（yはaに比例する．yはbに比例する．aとbは独立である）で表します．
「鉄の重さは銅の0.88倍である．ある銅のかたまりが4.2kgのとき，それと同じ大きさの鉄のかたまりは何kgか？」という，一見，0.88のみが倍率としか見なせない状況でも，「物質Xの重さは銅のa倍である．ある銅のかたまりがb kgのとき，それと同じ大きさの物質Xのかたまりは何kgか？」と一般化すれば，求めるべき重量yは，aにもbにも比例するので，y=a×b＝b×aと表せます．
とはいうものの，複比例を小学校で学習する余裕はなさそうです．なので算数教育の改善には寄与の乏しい，大人の議論となります．そのことを前提として，話すのであれば，「まあそういう言い方もできるね」です．
「（質量）＝（密度）X（体積）」に関して書かれた思考実験は，「体積を固定すれば，質量は密度に比例する」を示しています．それと別に，「密度を固定すれば，質量は体積に比例する」を確認すれば，「質量は密度と体積に比例する」と言うことができますし，一般に物体の密度と体積は独立ですから，複比例の関係であると言ってよさそうに思うのですが．
Vergnaudの表
の見方ですが，表に書かれる値の「1」「a」「b」「x」はそれぞれ，ケーキの問題（「1個15セントのケーキを4個買います．いくらになりますか」）に当てはめると，「1個」「15セント」「4個」「60セント」に対応します．
なので，次のような表を得ることができます．
| ケーキ | 値段 |
| 1個 | 15セント |
| 4個 | 60セント |
ですが，表を作る際，単位はできるだけ書くべきではない*1ので，次のようにしたいところです．
| ケーキ(個) | 値段(セント) |
| 1 | 15 |
| 4 | 60 |
縦に見る関係，横に見る関係の解釈ですが，まず「b＝4個／1個＝4個/個＝4×1＝4」に関して，意図は分かるけれども自分なら「b＝4個/1個＝4」とします．また「図中の1を1個ではなく純粋数の1と捉え」るのには賛同できません．それは1と4が同じ量空間の要素であることに反するからです．
その一方で，矢印に添えられる文字・数量は，表の制約を受けません．SCHEMA 5.2のbは無次元量の「4」，SCHEMA 5.3のaは，2つの量空間の次元を考慮して「15セント/個」としても，不具合はなさそうです．
