長方形長方形問題 - わさっきhb

いきなりですが問題です…と言えればよかったのですが，いくつか図を必要とします．

上のように，長方形ABCDの内部に，長方形EFGHがあるとします．上下左右の2辺ずつはそれぞれ平行です．
このとき，ちょうど中間になるよう，線を引きます．左の2辺については，こうです．上と下には，伸ばしすぎなくてもかまいません．

残りについても，ちょうど中間になるよう線を引き，各頂点に名前を定めると，長方形PQRSができます．

そこで問題です．以下の2つのそれぞれについて，長方形PQRSの周の長さを求めてください．
(a) AB＝6m，AD＝10m，EF＝2m，EH＝4mのとき
(b) 長方形ABCDの周の長さがL，長方形EFGHの周の長さがlのとき
元ネタは，『復刻版　算数・数学教育と数学的な考え方』p.146です．多角形P1P2…Pn（n≧3）の周の長さをP1P2…Pnと略記することにします．
まずは線分PQの長さを，AB，EFを使って表せないか考えてみます．どんくさく*1，補助線を引きましょう．

このとき，3つの図形ができます．

AEを斜辺とする直角三角形
EFを辺の一つとする長方形
BFを斜辺とする直角三角形

ちょっと考えてみると，PはAEの中点となります*2．QもBFの中点となります．
直角三角形・長方形・直角三角形の辺が，線分ABを分割しますので，それぞれの長さをa，b，cとすると，PQ＝ $\frac12$ a＋b＋ $\frac12$ cと表されます．
(a)の場合，b＝EF＝2mですが，aとcは特定できません．長方形EFGHが，長方形ABCDのどこに配置されるかによるからです．
しかしながら，a＋cは，その配置に依存せず求められます．a＋b＋c＝6mより，a＋c＝6m−b＝4mです．
結局，PQ＝b＋（a＋c）÷2＝2m＋2m＝4mとなります．
これは，長方形PQRSの縦の長さです．同様にして横の長さは，PC＝6m＋（10m−6m）÷2＝7mで求められます．PQRS＝4m×2＋7m×2＝22mが答えとなります．
(b)に進む前に，(a)の状況で，外と内の長方形の周の長さを確認しておきましょう．ABCD＝6m×2＋10m×2＝32m，EFGH＝2m×2＋4m×2＝12mです．
位置的に中間の長方形PQRSについて，（32m＋12m）÷2＝22mですので，周の長さも内外の平均となっています．そこで(b)について，PQRS＝ $\frac12$ （L＋l）と予想できます．
先ほどPQ＝b＋（a＋c）÷2と書きましたが，ここでb＝EF，a＋c＝AB−EFを代入して整理をすると，PQ＝（AB＋EF）÷2を得ます．同様にして，QR＝（BC＋FG）÷2も言えます．なのでPQRS＝ $\frac12$ （L+l）が示せました．
次の問題（前掲書pp.147-148）を見ていきます．

上のように，長方形ABCDの内部に，長方形EFGHがあるとします．異なる長方形の間で，平行となる辺の組み合わせはなく，いわば「ななめ」の配置です．
このとき，8つの線分AE，BE，BF，CF，CG，DG，DH，AHの各中点を，PからWとし，順に結ぶと，八角形PQRSTUVWができます．

そこでまたもや問題です．ABCD＝L，EFGH＝lのとき，PQRSTUVWはどう表せるでしょうか．
三角形で中点を結ぶ…と言えば中点連結定理です．例えば△EABと線分PQに着目すると，PQ＝ $\frac12$ AB，△BEFと線分QRだと，QR＝ $\frac12$ EFです．
八角形の周の長さは，以下のようになります．
PQRSTUVW＝PQ＋QR＋RS＋ST＋TU＋UV＋VW＋WP
　　＝ $\frac12$ AB＋ $\frac12$ EF＋ $\frac12$ BC＋ $\frac12$ FG＋ $\frac12$ CD＋ $\frac12$ GH＋ $\frac12$ DA＋ $\frac12$ HE
　　＝ $\frac12$ （AB＋BC＋CD＋DA＋EF＋FG＋GH＋HE）
　　＝ $\frac12$ （ABCD＋EFGH）
　　＝ $\frac12$ （L＋l）
この場合も，周の長さは，2つの長方形の周の長さの平均となりました．
平行な配置に，立ち返りましょう．補助線を引き直すと，8個の三角形，そして8箇所の，中点連結定理の適用箇所が見えてきます．

AE，BF，CG，DHの各中点がP，Q，R，Sとなります*3．またBEとPQの交点をTとすると，AB‖PTゆえ△EAB∽△EPTであり，その相似比は2:1なので，TはBEの中点です．
△EABと△BEFに着目すると，PQ＝PT＋TQ＝ $\frac12$ AB＋ $\frac12$ EF＝ $\frac12$ （AB＋EF）となります．他の辺も同様でして，結局，PQRS＝ $\frac12$ （L＋l）を得ることとなります．
めでたしめでたし．

Q: 2つの配置から，何が言えるんですか?

個人的にはちょっとした頭の体操となりました．
『復刻版　算数・数学教育と数学的な考え方』では，この出題を「構造」と結びつけています．「構造としての平均」「定数の変数かと一般化」「拡張と構造の保存」だとかいった小見出しをつけ，検討がなされています．

Q: 図形問題って，このブログで以前にも取り上げませんでした?

本日の問題は，初めてです．
面白いなと思ったものを見つけたら，自分なりに書いてみます．いわば追体験です．
これまでに書いた記事から3つを挙げておきます．

Q: 今回の図は，どうやって作成しましたか?

PowerPointです．結んで作った八角形では，平行でないところもあると思います．
座標をきちんと計算して，convertコマンドで描けば，誤差なしにできるのは分かっていますが，断念しました．

*1:この算出法は，元ネタの本で「大学で，数学教育の講義を受講している学生に，実際にこの問題を与えた際にも，次のような計算方法が用いられることが多い。」に続けて書かれている式を，自分なりに具体化してみたものです．

*2:「AEを斜辺とする直角三角形」と線分PQ，そして相似を使って証明できるかなと思ったものの，その方針では，Pが線分AE上にあることが示すのが困難です．Eから線分ABと線分ADに垂線を下ろして，長方形を作り，証明するのが簡単そうです．

*3:冒頭の出題で「ちょうど中間になるよう，線を引きます」に変えて，このようにPからQまでを設定し，結んだ図形がどうなるかを問うのは，どうでしょうか? これでも結果は同じですが，PQが，BEを二等分するのは，答えを出す側が示しておくことになります．