いきなりですが問題です．
任意の整数a,bについてa×b＝b×aを証明しなさい．
元ネタとなるツイートがあったのですが，「このページは存在しません。」になっています．「2018東大」と書かれていたものの，2018年度入学者向けの東大の入試で実施済みなのは，今月16日・17日の推薦入試の面談（http://www.u-tokyo.ac.jp/content/400065221.pdf#page=5）のみでして，そこで上記の問題が出たとは考えにくいです．
任意の「自然数」（正の整数）a,bに対して，a×b＝b×aであることの証明は，高木貞治『新式算術講義』にあります．筑摩書房の文庫本ならpp.26-28ですが，国立国会図書館デジタルコレクションで読むこともできます．簡単にいうと，累加に基づき乗法を定義してから，分配法則，結合法則，交換法則の順に，示しています．
- 作者: 高木貞治
- 出版社/メーカー: 筑摩書房
- 発売日: 2008/05/08
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といったところで証明です．
高木貞治『新式算術講義』の乗法の定義および「交換の法則」の証明は，a≧1およびb≧1を対象として記述されている．これを現在の書式に変更したのち，任意の整数a,bについてa×b＝b×aが成り立つことを示す．以降で明示しない場合，それぞれの文字のとる範囲は自然数とする．
乗法の定義は，以下の2つの式で表される．
a×1＝a
a×b＝a＋a＋…＋a （aをb個足し加える）
これらの定義から，a×1＝1×a＝aとなる．
はじめに，
（b＋c）×a＝b×a＋c×a 【1】
を示す．『新式算術講義』によると，左辺はb＋cをa個足し加えた和，すなわち
（b＋c）×a＝（b＋c）＋（b＋c）＋…＋（b＋c）
であるが，この右辺について加法の交換法則（a＋b＝b＋a）を用いて順序を変更すると，
（b＋c）＋（b＋c）＋…＋（b＋c）＝（b＋b＋…＋b）＋（c＋c＋…＋c）
と表すことができ，この右辺は，「bをa個足し加えた和」と「cをa個足し加えた和」との和であるから，結局b×a＋c×aである．これで【1】が示せた．
次に，【1】において項の数を増やしても，式が成り立つこと，具体的には以下の等式を示す．ただしn≧2とする．
（b[1]＋b[2]＋…＋b[n]）×a＝b[1]×a＋b[2]×a＋…b[n]×a 【2】
『新式算術講義』では具体的な証明が書かれていないが，数学的帰納法を用いるとよい．まずn＝2のとき，【1】においてb＝b[1]，c＝b[2]とすれば，（b＋c）×a＝b×a＋c×aは（b[1]＋b[2]）×a＝b[1]×a＋b[2]×aとなり，【2】が成り立つ．
次に，帰納法の仮定として，n＝kのときに成り立つとする．具体的には
（b[1]＋b[2]＋…＋b[k]）×a＝b[1]×a＋b[2]×a＋…b[k]×a
である．このとき，
（b[1]＋b[2]＋…＋b[k]＋b[k+1]）×a
＝｛（b[1]＋b[2]＋…＋b[k]）＋b[k+1]｝×a
＝（b[1]＋b[2]＋…＋b[k]）×a＋b[k+1]×a
＝b[1]×a＋b[2]×a＋…＋b[k]×a＋b[k+1]×a
となる．2番目の等号では，b＝b[1]＋b[2]＋…＋b[k]，c＝b[k+1]として【1】を適用しており，3番目の等号では帰納法の仮定を用いた．よってn＝k＋1のときにも，【2】が成り立つ．これで【2】が示せた．
【2】において，b＝n，b[1]＝b[2]＝…＝b[n]＝1とすると，以下の等式を得る．
（1＋1＋…＋1）×a＝1×a＋1×a＋…＋1×a
両辺に出現する和はそれぞれ，同じものをb個（ただし，b≧2）足し加えたものである．左辺のうち1＋1＋…＋1はbに等しいので，左辺はb×aと表せる．また右辺は（a＋a＋…＋aとしたのち）a×bに等しい．ゆえにa×b＝b×aが，aとbの一方が自然数，他方が2以上の整数の場合に示せた．これとa×1＝1×aを合わせると，任意の自然数に対してa×b＝b×aが成り立つことになる．
0や負の数を含む場合には次のようにする．まずaとbの少なくとも一方が0と等しい場合には，a×bもb×aも0と等しい．aが負でbが正の場合，（−a）×b＝b×（−a）が成り立つことを使用し，（−a）×b＋a×b＝0およびb×（−a）＋b×a＝0を別に示しておき整理すると，a×b＝b×aとなる．aが正でbが負の場合は（−b）×a＝a×（−b）を用いる．最後に，aもbも負の場合は，（−a）×（−b）＝（−b）×（−a）を用いればよい．
書き終えて言うのも何ですが，厳密な証明とはなっていません．加法の交換法則や等号の対称性（x＝y⇔y＝x）を証明・説明することなく使用していますし，上記においてa×1＝1×aを分けましたが，【2】においてn≧1のときにも成り立つとすれば，分ける必要はないのでした．負の数の場合は端折りすぎでして，筑摩書房の文庫本ではpp.73-76，国デジではhttp://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/827403/52以降に記されており，鍵となる等式はa×（−1）＝−aのようです．「現代の表記」と書いたものの，b[n]ではなくと書くべきで，これはプログラマの発想（表記）です．
そもそも，出典を明記して証明に使用するというのは，入試の答え方にそぐわないものです．問題解決において何を使用してよいか，説明のために典拠の記載内容をどれだけ改変してよいか，といったことと合わせて，大学教育の中で何とかしていきたいところです．
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後日追記：高木貞治『数の概念』では，正負の数に分けることなく，最初から「整数」を考えて，定義と性質を記述しています．Webで読むこともできます．
第一章（整数）§5（乗法）の定理1・21（交換律）が，整数を対象とした交換法則ですが，§1から読むことをおすすめします．
