いきなりですが問題です．
二項演算⇔を，以下の真理値表のとおり定義します．
この演算について，次の4つのうちどれが正しいでしょうか．
- 可換性・結合性をともに満たす．
- 可換性を満たし結合性を満たさない．
- 可換性を満たさず結合性を満たす．
- 可換性・結合性をともに満たさない．
先週金曜のネットワークセキュリティの，授業前テストです．排他的論理和は，使い捨てパッド，DES，AES，ブロック暗号のモードのいずれにも必要不可欠なものですが，排他的論理和の真理値表や数学的な性質は資料を配付し，この否定の論理演算について，考えてもらいました．
解答の前に確認です．演算の対象（a⇔bのaとb）も，結果（a⇔b）も，{0, 1}の範囲で考えます（ブール代数あるいはブール論理と呼ばれるものです）．可換性（可換律，交換法則とも）は，x⇔y＝y⇔xが，任意のx,y∈{0, 1}に対して成り立つことをいいます．結合性（結合律，結合法則とも）は，（x⇔y）⇔z＝x⇔（y⇔z）が，任意のx,y,z∈{0, 1}に対して成り立つことをいいます．
他の二項の論理演算でいうと，論理積のAND，論理和のOR，排他的論理和のXORは，いずれも，可換性・結合性をともに満たします．それに対し，否定論理積のNANDと否定論理和のNORは，可換性を満たす一方で結合性を満たしません*1．今回の演算⇔は，XORの否定なので，同様に考えれば，結合性を満たさないように見えますが…
それでは解答です．この演算⇔については，「可換性・結合性をともに満たす」が正解です．
可換性（x⇔y＝y⇔x）は明らか，と言ってもいいのですが，真理値表をつくると，次のようになります．
結合性（（x⇔y）⇔z＝x⇔（y⇔z））は，自明ではないので，こちらも真理値表を用意しました．変数は3つなので，入力は2の3乗で8通りとなります．
例えば，x＝0, y＝0, z＝1の場合，x⇔y＝1⇔1＝1であり，（x⇔y）⇔z＝1⇔1＝1です．同じ値の組み合わせで，y⇔z＝0⇔1＝0であり，x⇔（y⇔z）＝0⇔0＝1です．
xとyとzの任意の値の組み合わせに対して，（x⇔y）⇔zとx⇔（y⇔z）の値が等しいので，結合性を満たすというわけです．
さて，解答の少し前に「今回の演算⇔は，XORの否定」と書いたのですが，wikipedia:同値で確認できるとおり，この二項演算には否定排他的論理和（XNOR）という名称が付けられています．
英語版のwikipedia:XNOR_gateには，More than two inputsという小見出しを付けられた中に，3入力の真理値表が書かれていますが，上の（x⇔y）⇔zおよびx⇔（y⇔z）の結果と，0と1が反転しています．
英文の"Note that this is effectively Y = NOT ((A XOR B) XOR C)."より，3つ以上の入力のXNORは，XNORで演算してからNOT（否定）をとるという意味なのが分かります．
n個の入力に，拡張してみます．OUT＝（（（IN1⇔IN2）⇔IN3）⇔…）⇔INnの結果は，nが偶数の場合には，n入力のXNORと一致し，3以上の奇数の場合は，n入力のXNORを否定すれば求められることを意味します．またnの偶奇にかかわらず，（（（1⇔1）⇔1）⇔…）⇔1＝1です．
本日の演算⇔には，もう一つ，運用上の注意点があります．可換性と結合性をともに満たすのなら，カッコを除いてx⇔y⇔zと書いていいじゃないか，と言いたくなります．ですがx⇔y⇔zというのは，xとyとzをそれぞれ命題とし，3つすべての真偽が同じというときを表すのに使われます．
真と偽を1と0に置き換えて，真理値表を書くなら，以下のとおりです．（x⇔y）⇔zともx⇔（y⇔z）とも，3入力のXNORとも，異なる結果となります．
