いきなりですが問題です．
- 可換だけれど結合的でない演算の例を挙げなさい．
- 結合的だけれど非可換な演算の例を挙げなさい．
演算記号をθとしたとき，可換であるとは，xθy＝xθyが常に成立することをいい，この等式を満たさないx,yがあるときは非可換といいます．結合的であるとは，（xθy）θz＝xθ（yθz）が常に成立することをいいます．
さっそくですが解答例です．情報工学で学習する範囲で，「可換だけれど結合的でない演算」には，NANDとNORがあります．定義から可換なのは分かりますが，結合的でないのは，つい先日，真理値表生成プログラムを作ったばかりです*1．
「結合的だけれど非可換な演算」で，最も有名なのは行列の積でしょうね．四元数の積も，挙げておきたいところです．
あともう一つ，地味だけど欠かせないのは，文字列の連接(concatenation)です*2．「和歌山」という文字列と「大学」をくっつけたら，「和歌山大学」になります．「大学和歌山」と同じと言われても，困ります．
きちんと文字列のデータ構造を定義し，そこで連接の操作を定めれば，結合的であることも確認できます．簡単な確かめの例には，x＝和歌山，y＝大学，z＝前駅 を使いましょう．
この問題は，授業で小テストとして与え，答えを書いてもらいました．排他的論理和(XOR)のほか，論理和(AND)と論理積(OR)，それとたし算は，可換かつ結合的であることを，アナウンスしています．
答案を見ると，ひき算やわり算がよく書かれていましたが，あいにく可換でも結合的でもありません．ベクトルの外積*3もです．
