本当はプログラムコードの考察をしたかったのですが，ここ数日，気力がないので，軽い話をします．
2次元座標平面の原点からスタートして，第1象限とX軸・Y軸の各格子点を順に巡るというプログラムを，いくつか作ることにしました．
尺取り虫プログラム - わさっき
(略)
理論的には，自然数の集合N={0,1,2,...}と，N×N={(x,y)|x∈N,y∈N}とが一対一対応になるというものです．
上に引用したことだけであれば，尺取り虫のような形状だけでなく，いくつか考えられます．ひとつめ．
この図の経路では，座標(x,y)とステップ数nの関係が，という式で表されます．
簡単に理由を書くと，X軸上の各点とnとの対応は，(0,0)が0，(1,0)が1，(2,0)が3，(3,0)が6，…なので，(X,0)にはが対応します．与えられた座標P(x,y)に対して，座標Q(x+y,0)を考えると，X=x+yですから，Qのステップ数は
です．そしてPは，Qのちょうどyステップあとなので，yを加えれば，欲しい結果となります．
ふたつめ．
形状ですが，先のほうはまだ尺取り虫に見えると言えば見えますが，これはもはやそうではなく，渦巻き型，あるいはヤドカリの貝の形になっています．
上にあげた2つの図（の経路）のほうが，座標とステップ数の対応を計算しやすく，なのでわざわざ構造体に格納だとかしなくても，xとyの値を指定すれば，何ステップでそこに行けるかが，求められそうです．
計算という面では簡潔でいいのかもしれませんが，しかし上のいずれの経路も，「次の位置」が大きく飛ぶところがある，という点で，形状の美しさは劣るように思えます．
プログラムを書いた経路は，上，左上，右，右下の4種類，もう少し厳密に書くなら(0,+1), (-1,+1), (+1,0), (+1,-1)という4つの「増分」処理だけで，N×N={(x,y)|x∈N,y∈N}のすべての点を順にたどることができることを，示しています．
そこでさらに，斜めを消して，上下左右，すなわち(0,+1), (0,-1), (-1,0), (+1,0)の増分だけで，飛躍なく，漏れなく重複なく，各点を通れるか，考えてみました．図はこんな感じ．
これも，x座標とy座標それぞれの奇偶，それとx座標とy座標のどちらが大きいか（直線y=xの下にあるか上にあるか，線上か）で場合分けすることで，任意の座標(x,y)から，次のステップへの向きが求められそうです．
