包含除と等分除 - わさっきとい５『りんごが １４こ あります。５さらに おなじに なるよう りんごを のせます。１さらに りんごは 何こ あるでしょう。』
について，「１４÷５＝２あまり４」という式を書きました．
単位を付けると，「１４個÷５枚＝２個／枚あまり４個」です．
これを，「（被除数）＝（除数）×（商）＋（余り）」*1の形でかけ算形式にすると，「１４個＝５枚×２個／枚＋４個」となります．
そうすると，「５枚×２個／枚」と書くことになります．「２個／枚×５枚」とすべきなのではないでしょうか?
…と，悩む必要はありません．「かけ算指導の出発点は『何のいくつ分』」「交換法則利用可」「単位は無頓着」を前提とするならば．
まず，交換法則の適用について，確認しておくと，「５枚×２個／枚＝２個／枚×５枚」なので，「１４個＝５枚×２個／枚＋４個」を「１４個＝２個／枚×５枚＋４個」に変換できます．単位付きの式の計算規則については，小学校で使用する範囲で考えるなら，それほど難しくありません．また，式の一部（部分式）のみを等価な別の式に取り替えるというのは，項書換え系(Term Rewriting System, TRS)を使って表現することができます．
ここで，冒頭のとい５を出発点として，乗算形式で得られる式を並べ，（本エントリ限定の）ラベルを振ることにします．
- 《かけ算Ａ》１４個＝５枚×２個／枚＋４個
- 《かけ算Ｂ》１４個＝２個／枚×５枚＋４個
- 《かけ算ａ》１４＝５×２＋４
- 《かけ算ｂ》１４＝２×５＋４
これらのうち，*2小学校の算数ではどれで書くのがよいのか，我々大人はどうすべきか，というのを検討してみます．
小学校限定としては，式には単位を付けないのが当たり前なので，《かけ算Ａ》《かけ算Ｂ》ともに，よろしくありません．また「１４÷５＝２あまり４」を「（被除数）＝（除数）×（商）＋（余り）」に当てはめるのですから，「１４＝５×２＋４」，すなわち《かけ算ａ》しかないだろう，となります．
次は大人です．式に単位を書いていいとすると，《かけ算Ａ》，《かけ算Ｂ》それぞれについて，そう書くことに意義があり，その反面，それぞれに対して注意点もあります．
まず，《かけ算Ａ》は，最初に示したロジックのとおり，「１４÷５＝２あまり４」のそれぞれの数に単位を明示した上で，「（被除数）＝（除数）×（商）＋（余り）」によって書き直したものです．このとき，除数と余りの単位を抜いた上で*3，大小比較ができ，（単位なしの）余りは，0以上でかつ，（単位なしの）除数未満でないといけません．実際この式では，４＜５すなわち余り＜除数となっていて，この点で問題はありません．例えば，「１４個＝５枚×１個／枚＋９個」という式は許されません．
その一方で，《かけ算Ｂ》についてはこれを変形して「１４個＝１個／枚×５枚＋９個」とできます．この式になるような説明文を与えると，こんな感じでしょうか：「親が14個のりんごを持っていて，5人の子どもにみな同じ数になるよう，あげることにします．りんごは袋に入っていて，子どもには（いくつあるのかが）見えません．5個取り出して1個ずつあげれば（皿に乗せれば），１４個＝１個／枚×５枚＋９個となります．このとき袋には９個のりんごが残っています」．
話の進め方として，《かけ算Ｂ》は，《かけ算Ａ》と（単位付き数量に関するかけ算の）交換法則を適用して作りました．ですが実は，そんなことをしなくても，そもそもわり算を使うことなく，かけ算とたし算の組み合わせで立式できてしまうのでした*4．
するとどうなるかというと，《かけ算Ｂ》に出てくる，「２個／枚」と「４個」，「５枚」と「４個」，そしてそれぞれから単位を取り除いた「２」と「４」，「５」と「４」の大小を比較することに，意味がありません．もちろん「２＜４」「５＞４」ですが，「それが何? (So what?)」です．
まとめとして，4つの式の根拠と使いどころを整理します．
- 《かけ算Ａ》１４個＝５枚×２個／枚＋４個：商と剰余の関係に基づき，かつ単位付きの式です．「５＞４」により，余りが除数より小さい（ので，商と剰余の関係式が持つ必要条件の一つを満たしている）ことが分かります．
- 《かけ算Ｂ》１４個＝２個／枚×５枚＋４個：乗算と加算を用いた，単位付きの立式です．「１４個＝１個／枚×５枚＋９個」としても，差し支えありません．
- 《かけ算ａ》１４＝５×２＋４：とい５を基点とするとき，もっとも自然な，商と剰余の関係式です．ただし「『５枚×２個／枚』になるが，いいのか? 『２個／枚×５枚』とすべきじゃないのか?」というツッコミをしたくなる人がいるかもしれません．
- 《かけ算ｂ》１４＝２×５＋４：一切，使い道がありません．前々から検討してきた《問い》に対して，「５×３＝１５」という式を立てるようなものです．
*1:式に単位を書かせるべきか(4) - わさっき 脚注*2．
*2:そうだ，ここに「僭越ながら」という言葉を入れておかねば．
*3:ここが無頓着派の真骨頂!
*4:《かけ算Ａ》については，０＜余り＜除数という関係が不可欠なので，わり算と切り離すことができません．
