いきなりですが問題です．
5人家族があります．それぞれ，1日に1個ずつ，りんごを食べます．7日間で，この家族は全部で何個のりんごを食べるでしょうか? 式と答えを書いてください．
さっそくですが解答です．5人家族で1日に1個ずつ，りんごを食べるというので，この家族が1日に食べるりんごは5個です．7日間ですから，5×7＝35 答え35個となります．
また別の考え方もできます．1日に1個ずつ，7日間ですから，1人が食べるりんごは7個です．5人いますので，7×5＝35 答え35個となります．
問題文を少し変えてみましょう．
5人家族があります．それぞれ，1日に3個ずつ，ミニトマトを食べます．7日間で，この家族は全部で何個のミニトマトを食べるでしょうか? 式と答えを書いてください．
解答は難しくありません．5人家族で1日に3個ずつ，ミニトマトを食べるというので，この家族が1日に食べるミニトマトは3×5＝15で15個です．7日間ですから，15×7＝105 答え105個となります．
また別の考え方もできます．1日に3個ずつ，7日間ですから，1人が食べるミニトマトは3×7＝21で21個です．5人いますので，21×5＝35 答え105個となります．
ここまでを整理しておきます．分解式は，総合式に置き換えています．
- りんごの問題
- 1日に食べる個数に着目すると，式は5×7
- 1人が食べる個数に着目すると，式は7×5
- ミニトマトの問題
- 1日に食べる個数に着目すると，式は3×5×7
- 1人が食べる個数に着目すると，式は3×7×5
ここで「5×7」に注目します．りんごの問題では，この積がそのまま，求めるべき総数になりました．しかしミニトマトの問題だけでなく，他の飲食物，あるいはカロリー摂取量などに置き換えても，成り立つようにしようとすると，「定数×5×7」と考えるのがよさそうです．りんごの問題では，その定数を1とし，「1×」はイチイチ書かない，とするわけです．
問題文を見直すと，「それぞれ，1日に1個ずつ，りんごを食べます」と，定数1にあたる「1個ずつ」が書かれています．これは伏線というわけではなく，答えを求めるのに必要な情報です．というのも，
5人家族があります．それぞれ，りんごを食べます．7日間で，この家族は全部で何個のりんごを食べるでしょうか? 式と答えを書いてください．
とすると，式が立てられません．もとの問題文にあった「それぞれ，1日に1個ずつ」は，総数を求める際に必須の情報なのです（「それぞれ，」も重要です．これがないと，5人家族で1日に1個ずつ，りんごを食べるという話になってしまいます）．「1個ずつ，りんごを」のところは，いろいろと変えることができます．「1日に20羽ずつ，折り鶴を折ります」として，仕事量の問題にすることもできます．
パー書きを使うと，「それぞれ，1日に1個ずつ，りんごを食べます」は「1[個/人・日]」と表せます．「それぞれ，1日に3個ずつ，ミニトマトを食べます」のほうは「3[個/人・日]」です．『量の世界―構造主義的分析 (1975年) (教育文庫〈8〉)』によると，そういった量は，複内包量と呼ばれます．
先ほど整理した各項目で，次元（単位）を含めた式を用いて計算してみると，次のようになります．
- りんごの問題
- 1日に食べる個数に着目すると，式は1[個/人・日]×5[人]×7[日]＝5[個/日]×7[日]＝35[個]
- 1人が食べる個数に着目すると，式は1[個/人・日]×7[日]×5[人]＝7[個/人]×5[人]＝35[個]
- ミニトマトの問題
- 1日に食べる個数に着目すると，式は3[個/人・日]×5[人]×7[日]＝15[個/日]×7[日]＝105[個]
- 1人が食べる個数に着目すると，式は3[個/人・日]×7[日]×5[人]＝21[個/人]×5[人]＝105[個]
このような“3口のかけ算”を見ると，右側の「×」から先に計算したくなります．やってみます．
- 1[個/人・日]×5[人]×7[日]＝1[個/人・日]×35[人・日]＝35[個]
- 1[個/人・日]×7[日]×5[人]＝1[個/人・日]×35[人・日]＝35[個]
- 3[個/人・日]×5[人]×7[日]＝3[個/人・日]×35[人・日]＝105[個]
- 3[個/人・日]×7[日]×5[人]＝3[個/人・日]×35[人・日]＝105[個]
ここで生じた「[人・日]」という次元には，いくつかの意味づけを行うことができます．一つは，1[個/人・日]や3[個/人・日]といった1あたり量とのかけ算がうまくできるよう，次元を合わせたというものです．それとは別に，「人日」という一つの単位を採用すれば，あとは「1人1日あたりどれだけ消費（作業）するか」という比例定数にそれをかけることによって，消費（仕事）の総量が求められます*1．
“3口のかけ算”や，右側の「×」から先に計算したらどうなるかなどについては，結合法則の話でして，これまでも取り上げてきました．結合法則を，交換法則と区別して認識するで見てきた
1こ90円のシュークリームが、1はこに3こずつ入っています。2はこ買うと、代金は何円になるでしょう？
について，パー書きの式を立てると，90[円/こ]×3[こ/はこ]×2[はこ]と表せます．計算は，次の2通りになります．
- 90[円/こ]×3[こ/はこ]×2[はこ]＝270[円/はこ]×2[はこ]＝540[円]
- 90[円/こ]×3[こ/はこ]×2[はこ]＝90[円/こ]×6[こ]＝540[円]
この場合，複内包量や「[人・日]」に相当するような次元は一切現れません．一つだけ注意をしておきたいのは，90[円/こ]×3[こ/はこ]＝270[円/はこ]と，内包量どうしのかけ算をしていることです．この種のかけ算は内包量×外延量，I×Eで見てきていまして，ある海外文献ではI×I'＝I''と表しています．
りんごの問題で「[人・日]」が出てこない式，例えば「1[個/人・日]×5[人]×7[日]＝5[個/日]×7[日]＝35[個]」を振り返っておくと，その中で「1[個/人・日]×5[人]＝5[個/日]」という計算をしています．これは，複内包量×外延量＝内包量と見ることができます．
結局のところここが，複内包量を含む（複比例に基づく）3口のかけ算と，3年で学習するシュークリーム問題のような3口のかけ算との，決定的な違いとなっています．
冒頭の，りんごの問題を，かけ算を学習する2年で出題することができるかについて，少し考えておきます．「さっそくですが」と展開したとおり，1日に食べる個数や，1人が食べる個数に着目して，式そして答えを求めることは可能です．そしてかけられる数とかける数を入れ替えた，2つのかけ算の式が正解となるのも，興味深いところです．
ですがこれは，2年での出題はふさわしくない，あるいは控え目に言っても要注意な出題です．というのもここまで書いてきたとおり，「複比例」「人日」「のべ」を前提としたかけ算だからです．
低学年でも，場面の理解，立式，そして解答は可能だけれど，その依拠するものを意識しておく必要があり，安易に出題するわけにいかないだろうというものを，去年，創作しています．
アヤコ，カナコ，サワコの3人で手分けして，庭の水やりをします．
4マス関係表
いつも11時30分に始めます．そして11時42分に終わります．
ある日，カナコひとりで，庭の水やりをすることになりました．
12時ちょうどのお昼ごはんに，間に合うでしょうか．
ここでも，仕事量を使っていますが，この問題の背景にある，算数・数学の要素は，「反比例」です．本日のりんごの問題や，小学校の2〜3年で学習しているものと，また別の種類のかけ算と言えます．
りんごの問題は，ドメインパーキングのコメントに出てきた出題の改題です．
*1:人日を計算するにあたって，かけ算は必須ではありません．月曜日は何人，火曜日は何人，…と，日によってまちまちでもいいのです．それぞれの人数を足せばいいのですから．とはいえ，人数のたし算で得られるのは，何[人]です．かけ算にすると，何[人・日]または何[人日]になるのは，どうしてかというと，「のべ」の概念が入っているからです．小学校の算数では「人日」ではなく「人」または「日」として扱うのが良さそうです．のべについては対象を，広げる，狭めるをご覧ください．
