いきなりですが問題です．
三角形ABCに対して，3点D，E，Fを，以下の条件をすべて満たす点とする．
条件1: A，D，Fはこの順に同一直線上にあり，AD:DF＝a:1
条件2: B，E，Dはこの順に同一直線上にあり，BE:ED＝b:1
条件3: C，F，Eはこの順に同一直線上にあり，CF:FE＝c:1
ただし，a，b，cはいずれも正の実数とする．
このとき，以下の各問に答えよ．
(1) △ABC:△DEFを，a，b，cを用いた比で表せ．ここで△XYZは三角形XYZの面積とする．
(2) A，B，Cの各座標およびa，b，cが，計算機で表現できる値のとき，3点D，E，Fの座標を求める手順を答えよ．
(3) a，b，cが正の整数のとき，三角形ABCが与えられたときに3点D，E，Fを定規とコンパスで求める手順を答えよ．
昨日付の記事で書いた「(a+1)(b+1)(c+1)−abc倍」「位置決めや，作図」について，さっそくですが解答します．
(1) まず，下図のように，AE，BF，CDをそれぞれ結びます．
s＝△DEFとおくと，△EDF:△EDA＝DF:DA＝1:aなので△EDA＝asです．同様に，△FED:△FEB＝ED:EB＝1:bより△FEB＝bs，△DFE:△DFC＝FE:FC＝1:cより△DFC＝csを得ます．
次に，△AED:△AEB＝ED:EB＝1:bより，△AEB＝b△AED＝absです．同様に，△BFE:△BFC＝FE:FC＝1:cより△BFC＝c△BFE＝bcs，△CDF:△CDA＝DF:DA＝1:aより△CDA＝a△CDF＝casを得ます．
これで，△ABC内を構成する7つの部分図形（いずれも三角形）の面積は，sの式で表すことができます．
△ABC＝△DEF＋△EDA＋△FEB＋△DFC＋△AEB＋△BFC＋△CDA＝s＋as＋bs＋cs＋abs＋cbs＋cas＝(ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1)sなので，△ABC:△DEF＝(ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1) :1となります．
ここでab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1−abc＝(a+1)(b+1)(c+1)−abcと変形すると，△ABC:△DEF＝{(a+1)(b+1)(c+1)−abc}:1と表すこともできます．
昨日付記事は，a＝2，b＝1，c＝3の場合でしたので，(a+1)(b+1)(c+1)−abc＝3・2・4−2・1・3＝24−6＝18となり，△ABC:△DEF＝18:1です．
(2) 前問に加えて，補助線を引きます．点Gを直線AFとBCの交点，点Hを直線BDとCAの交点，点Iを直線CEとABの交点とします．
ここで三角形EACに着目すると，△EDA:△EDC＝AH:CHとなります．というのも，Hを通るEHの垂線を引き，その直線と，Aを通るEHとの平行線の交点をP，およびCを通るEHとの平行線との交点をQとすると，△EDA＝ED・PH/2，△EDC＝ED・QH/2となります．直線PQと直線ABが異なる場合は，△HPA∽△HQBなので，AH:CH＝PH:QHです．ここまでの式を整理することで△EDA:△EDC＝AH:CHを得ます．直線PQと直線ABが一致する場合は，PとA，QとCはそれぞれ同じ点になりますので，PH＝AH，QH＝CHより，やはり△EDA:△EDC＝AH:CHを得ます．
△EDC＝△DEF＋△DFC＝(c+1)sですので，AH:CH＝a:(c+1)となります．
同様にして，三角形ABCとその周上の点について，以下の式が得られます．
AI:BI＝(a+1):b
BG:CG＝(b+1):c
CH:AH＝(c+1):a
ここまでは，3点D，E，Fを所与としていました．これらがない状態から，その決定方法を手順として書くと，次のとおりです．
1. BG:CG＝(b+1):cを満たす点G，CH:AH＝(c+1):aを満たす点H，AI:BI＝(a+1):bを満たす点Iを求める．
2. 直線AG，直線BH，直線CIをそれぞれ求める．
3. 2直線AGおよびBHの交点をD，2直線BHおよびCIの交点をE，2直線CIおよびAGの交点をFとする．
プログラミングにおいては，内分点と，2点を通る直線，2直線の交点を求める処理を定義するか，ライブラリなどから呼び出すことで，それぞれの値（点なら座標，直線においては係数ほか）を求めることができます．
(3) 線分ABを(a+1):bの比に内分する点をIを求めるには，直線ABと異なり，Aを通る直線を引きます．その直線上で，Aを起点にコンパスで1単位長から(a+b+1)単位長までの頂点をとります*1．Aを起点に(a+b+1)単位長離れた頂点とBとを結び，その直線と平行で，Aを起点に(a+1)単位長離れた頂点を通る直線を引きます．この直線と，直線ABとの交点が，Iとなります．GおよびHも同様です．2直線の交点は，プログラミングよりももっと簡単です．
作図プログラムをGistに置いておきます．いつものようにRubyスクリプトで，描画はconvertコマンドです．文字描画はIPAexゴシックがデフォルトです．他のフォントにしたり，フォントサイズを変えたりすると，表示が乱れる可能性があります．
昨日付の問題では，原文ママということでAEにも線分を引いたのですが，本日の検討にあたっては，最初に引いておく必要はありません．この対処にも，少しだけ手間をかけました．
*1:2単位長，4単位長，…というとり方と組み合わせれば，操作を減らすことができます．正整数xに対して，Aからx単位長まで離れたところをとるのには，xを2進数で表したときの桁数（ビット長）のたかだか2倍の回数のコンパス操作で行えます．
