いきなりですが問題です．
△ABCの各辺を，それぞれ1辺とする正三角形ABD，BCE，ACFをつくる時，四角形ADEFは平行四辺形であることを証明せよ
元ネタは，以下の本のp.144です．
先日，書店で購入し，Amazonで書名などを確認すると，「最後にこの商品を購入したのは2017/7/22です。」と表示されました．衣装ケースに入れた本の中に，同じものがあるはずです．
問題を見て，頭の中で図形を思い描きました．△ABCを真ん中に置き，各辺に対して外側に正三角形を隣接させて，外に出た3つの頂点，それをAを結ぶと…平行四辺形になるはずがありません．
こうです．
平行四辺形の性質の一つに，「向かい合う角がそれぞれ等しい」があります．しかし上の図の∠DAFについて，これは∠BAC，∠DAB，∠FACの和で，後ろ2つが60°ずつなので，和は120°を超えます．向かい合う角すなわち∠DEFは，鋭角です．向かい合う角を等しくするのは，無理があります．
原文を読み直すと，「証明せよ」の直後に「（次図）」と書かれています．次のページの図は，以下のようになっていました（原文はモノクロです）．
正三角形BCEだけ，△ABCの外側ではなく，その反対側に作っていました．頂点AとEが，直線BCに関して同じ側にあります（他の正三角形では，DとCは直線ABに関してそれぞれ反対側にあり，BとFも直線ACに関してそれぞれ反対側にあります）．
「△ABCの各辺に対し，この図のように，正三角形ABD，BCE，ACFをつくるとき，四角形ADEFは平行四辺形であることを証明しなさい」に読み替えて，検討し直します．見た目は，平行四辺形です．証明するには，「向かい合う辺がそれぞれ等しい」を使うのがよさそうに見えます．10秒ほど，凝視していると，△ABCを，頂点Bを中心として回転移動させれば，△DBEに重なることに気づきました．そうするとDE＝AC＝AFです（等号の左側は三角形の合同，右側はACFが正三角形であるため）．
しかし回転移動は証明に使いにくいので，三角形の合同で考えました．次のようになります．
△ABCと△DBEについて，
△ABDは正三角形なので，AB＝DB。
△BCEは正三角形なので，BC＝BE。
∠ABC＝∠EBC－∠EBA＝60°－∠EBAであり，
∠DBE＝∠DBA－∠EBA＝60°－∠EBAだから，∠ABC＝∠DBE。
2つの辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△ABC≡△DBE。
したがってAC＝ED。
また△ACFは正三角形なので，AC＝AF。
これらからAF＝DE。
同様にして△ABC≡△FECが示せます．EF＝BA＝DAとなり，四角形ADEFは「向かい合う辺がそれぞれ等しい」ので平行四辺形なのが言えました．
原文では図のすぐ下に，「△EFC≡△BACが成り立てばよい」と書かれており，実際に示してから「DE＝AFを得る。」としていました．
（翌日追記）点Aの位置をさまざまに変えて描画できるようにしてみました．
