いきなりですが問題です．
じゃんけんを4回やって，そのうち2回勝つ確率は，2分の1ですか?
1回やって勝つ確率は2分の1とします．
4÷2＝2も，2÷4＝0.5も，求め方としては間違いです．
「じゃんけんを4回」の勝敗をすべて書き出し，「2回勝つ」状況を数えてみます．
負負負負 負負負勝 負負勝負 負負勝勝…2回 負勝負負 負勝負勝…2回 負勝勝負…2回 負勝勝勝 勝負負負 勝負負勝…2回 勝負勝負…2回 勝負勝勝 勝勝負負…2回 勝勝負勝 勝勝勝負 勝勝勝勝
「2回勝つ」のは6通りと分かりました．
「1回やって勝つ確率は2分の1」より，上記16通りのいずれも同じ確率となるので，ちょうど2回勝つ確率は，6/16＝0.375です．2分の1よりも小さくなります．二項係数を使うと，と表せます．
さらにですが問題です．以下，「1回やって勝つ確率は2分の1とします．」は省略します．
じゃんけんを4回やって，そのうち2回以上勝つ確率は，2分の1ですか?
今度は次のようになります．
負負負負 負負負勝 負負勝負 負負勝勝…2回 負勝負負 負勝負勝…2回 負勝勝負…2回 負勝勝勝…3回 勝負負負 勝負負勝…2回 勝負勝負…2回 勝負勝勝…3回 勝勝負負…2回 勝勝負勝…3回 勝勝勝負…3回 勝勝勝勝…4回
2回以上は11通りです．すると確率は，11/16＝0.6875となり，1/2よりも大きくなります．
一般化しましょう．
じゃんけんをmatch回やって，そのうちwin回以上勝つ確率が，2分の1になるのは，どんなときですか．
「じゃんけんを回やって，そのうち
回以上勝つ確率」（ただし
）は，「じゃんけんを
回やって，勝ち数が
回を下回らない確率」と言い換えられますので，
と表すことができます．
各ケースで勝率を求めるのは，Rubyスクリプトにさせましょう．いつものようにGistに置きました．
実行結果は次のとおりです．デフォルトでは，1≦match≦5に限定しています．chooseの値は2項係数，rate1の値は「match回やって，ちょうどwin回勝つ確率」，そしてrate2の値が「match回やって，そのうちwin回以上勝つ確率」です*1．
p=1/2=0.5 win=0, match=1 : choose(1,0)=1 : rate1=1/2 : rate2=1/1=1.0 win=1, match=1 : choose(1,1)=1 : rate1=1/2 : rate2=1/2=0.5 win=0, match=2 : choose(2,0)=1 : rate1=1/4 : rate2=1/1=1.0 win=1, match=2 : choose(2,1)=2 : rate1=1/2 : rate2=3/4=0.75 win=2, match=2 : choose(2,2)=1 : rate1=1/4 : rate2=1/4=0.25 win=0, match=3 : choose(3,0)=1 : rate1=1/8 : rate2=1/1=1.0 win=1, match=3 : choose(3,1)=3 : rate1=3/8 : rate2=7/8=0.875 win=2, match=3 : choose(3,2)=3 : rate1=3/8 : rate2=1/2=0.5 win=3, match=3 : choose(3,3)=1 : rate1=1/8 : rate2=1/8=0.125 win=0, match=4 : choose(4,0)=1 : rate1=1/16 : rate2=1/1=1.0 win=1, match=4 : choose(4,1)=4 : rate1=1/4 : rate2=15/16=0.9375 win=2, match=4 : choose(4,2)=6 : rate1=3/8 : rate2=11/16=0.6875 win=3, match=4 : choose(4,3)=4 : rate1=1/4 : rate2=5/16=0.3125 win=4, match=4 : choose(4,4)=1 : rate1=1/16 : rate2=1/16=0.0625 win=0, match=5 : choose(5,0)=1 : rate1=1/32 : rate2=1/1=1.0 win=1, match=5 : choose(5,1)=5 : rate1=5/32 : rate2=31/32=0.96875 win=2, match=5 : choose(5,2)=10 : rate1=5/16 : rate2=13/16=0.8125 win=3, match=5 : choose(5,3)=10 : rate1=5/16 : rate2=1/2=0.5 win=4, match=5 : choose(5,4)=5 : rate1=5/32 : rate2=3/16=0.1875 win=5, match=5 : choose(5,5)=1 : rate1=1/32 : rate2=1/32=0.03125
またmatchが9と10のときの値は，次のようになります．
win=0, match=9 : choose(9,0)=1 : rate1=1/512 : rate2=1/1=1.0 win=1, match=9 : choose(9,1)=9 : rate1=9/512 : rate2=511/512=0.998046875 win=2, match=9 : choose(9,2)=36 : rate1=9/128 : rate2=251/256=0.98046875 win=3, match=9 : choose(9,3)=84 : rate1=21/128 : rate2=233/256=0.91015625 win=4, match=9 : choose(9,4)=126 : rate1=63/256 : rate2=191/256=0.74609375 win=5, match=9 : choose(9,5)=126 : rate1=63/256 : rate2=1/2=0.5 win=6, match=9 : choose(9,6)=84 : rate1=21/128 : rate2=65/256=0.25390625 win=7, match=9 : choose(9,7)=36 : rate1=9/128 : rate2=23/256=0.08984375 win=8, match=9 : choose(9,8)=9 : rate1=9/512 : rate2=5/256=0.01953125 win=9, match=9 : choose(9,9)=1 : rate1=1/512 : rate2=1/512=0.001953125 win=0, match=10 : choose(10,0)=1 : rate1=1/1024 : rate2=1/1=1.0 win=1, match=10 : choose(10,1)=10 : rate1=5/512 : rate2=1023/1024=0.9990234375 win=2, match=10 : choose(10,2)=45 : rate1=45/1024 : rate2=1013/1024=0.9892578125 win=3, match=10 : choose(10,3)=120 : rate1=15/128 : rate2=121/128=0.9453125 win=4, match=10 : choose(10,4)=210 : rate1=105/512 : rate2=53/64=0.828125 win=5, match=10 : choose(10,5)=252 : rate1=63/256 : rate2=319/512=0.623046875 win=6, match=10 : choose(10,6)=210 : rate1=105/512 : rate2=193/512=0.376953125 win=7, match=10 : choose(10,7)=120 : rate1=15/128 : rate2=11/64=0.171875 win=8, match=10 : choose(10,8)=45 : rate1=45/1024 : rate2=7/128=0.0546875 win=9, match=10 : choose(10,9)=10 : rate1=5/512 : rate2=11/1024=0.0107421875 win=10, match=10 : choose(10,10)=1 : rate1=1/1024 : rate2=1/1024=0.0009765625
じゃんけんをmatch回やって，そのうちwin回以上勝つ確率が，2分の1になるのは，matchが奇数で，かつwin＝（match＋1）/2の場合です．
3本勝負なら2勝，5番勝負なら3勝，7番勝負なら4勝を先にしたほうが勝ち，というわけです．「過半数を制してやっと勝利か」と思うものの，冷静に数を数えてみると，7番勝負（一方が4勝しても打ち切らない*2として）で「0勝から3勝まで」と「4勝から7勝まで」の場合の数がともに同じですので*3，公平な対戦形式と言えます．
自作のRubyスクリプトは，「1回やって勝つ確率」を2分の1以外の任意の値に設定できます．3分の1（あいこも勝ちでない）とし，じゃんけんをmatch回やって，そのうちwin回以上勝つ確率が，2分の1に最も近づくのはどんなときかを求めてみると，match＜100のときにはmatch＝98，win＝33と出ました．
