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『かけ算には順序があるのか』を読んだら

OoM

当ブログでたびたび取り上げている「かけ算の順序論争」について，その基礎となる本は，2011年5月に刊行された『かけ算には順序があるのか』です．

かけ算には順序があるのか (岩波科学ライブラリー)

かけ算には順序があるのか (岩波科学ライブラリー)

批判の入口としては，こういう本もありかなと思いますが，算数・数学教育の過去，現在，未来（刊行後の状況）という面から，この1冊を起点に議論をするのは，危ういなという認識も持っています．
そこで必読文献や，知っておくと面白い情報を自分なりに整理し，「かけ算の順序」などを検索語として，当ブログでお越しの方々に向け，情報の提供を試みることにします．

かけ算の順序を問う問題の歴史

『かけ算には順序があるのか』のまえがきを読み直すと，以下のとおり，出題と正誤判定について書かれています．

いま，小学校では，「6人に4個ずつミカンを配ると，ミカンは何個必要ですか」という問題に，6×4＝24という式を書くと，答えはマルで，式はバツにされます．

文章題では「6」「4」の順に数が出現するけれど，学習した「1つ分の数×いくつ分＝全体の数」の式をもとに，2つの数をひっくり返して「4×6」と書くのが正解，という意図の出題について，算数教育の歴史を知る手がかりとなると考えまして，これまで情報収集にあたってきました．
古い方からいきますと，式の正しさを問わない文章題では，高木貞治編著『広算術教科書』（1909年）の「東京ヨリ横濱マデノ鐵道距離18哩ナリ。三等乗車賃金一哩毎ニ一錢六厘五毛ナルトキハ，此賃金幾許トナルカ。」が，知る限り最古です．
水色表紙の教科書（1941年）の出題に対し，「被乗数が後に来てゐる（略）少しむづかしい感じがするであらう」と解説したものもあります．
児童への指導を含んだ文書は，1951年の小学校学習指導要領 算数科編（試案）になります．V. 算数についての評価より，抜粋します．

　三年の乗法九々の学習で，三の段がひととおりすんで，こどもたちは三の段の九々がすらすら唱えられるようになった。そこで，教師は次のようなテストを行って，こどもがかけ算の意味を理解して，九々を適用する力が伸びたかどうかを調べてみた。

問題　３人のこどもに，えんぴつを２本ずつあげようと思います。えんぴつがなん本いるでしょう。どんな九々をつかえばわかりますか。

　どんな九々をつかうかという問に対して，３×２＝６と答えたものが予想以上に多いことがわかった。これによってこどもは問題に出てくる数を，その数の意味を深く考えもしないで，出てくる順に書き並べ，その間に，かけ算記号を書き入れることがわかった。問題に出てくる数を頭の中にいったん収めて，演算の決定に導くように問題の場を組織だてる力が欠けているらしいことがわかった。そこで，その欠けていることについての再指導に入るわけである。

上記の指導は，その後に確立された教育評価論の用語を使って，「形成的評価」と表すことができます．
現在に戻りましょう．例えば東京都算数教育委員会が隔年で，約6万人の児童を対象に実施している学力調査にも，「子どもが 3人 います。みかんを 1人に 4こずつ ふくろに 入れて くばります。くばる みかんの 数を もとめる しきを かきましょう。」という出題が見られます（平成22年度）．平成24年度には少し出題方法が変更されていますが，正答率は大差ありません．この実態を踏まえた配慮が，東京書籍の教科書でなされています．
「ひっくり返して書くのが正解」に関しては，加減乗除で出題例があります．中学の全国学力テストでも，出題があります（ただし，かけ算の式においては，解答類型の表に「乗数と被乗数を入れ替えた式なども許容する。」という注意書きが入っており，不問とされてます）．加法（たし算）については，「子どもが 3人 います。みかんを 1人に 2こずつ あげます。みんなで なんこ いりますか。」という文章題で（3＋3ではなく）2＋2＋2＝6により求めるというのが，啓林館の1年の算数教科書に載っています．

「かける数×かけられる数」を認めないのか

かけ算の式にするための2つの数量を，「かける数」「かけられる数」と呼んで区別したとしても，式は「かける数×かけられる数」「かけられる数×かける数」のどちらでもいいんだ，といった主張を，例えば交換法則（可換性）を暗黙の了解事項として，行うのは，どうでしょうか．
学校はというと，日本のほか，韓国と台湾で，「かけられる数×かける数」が正解，「かける数×かけられる数」ではないよという出題例が見られます．
国際比較の観点でも，いくつか文献があります．まず『算数・数学教育つれづれ草』を挙げます．「５円の品３個の代金の立式は「3×5」ではダメなのか」と題した記事がpp.46-47にあり，海外で教育を受けた子どもが日本に帰国して，「5円の品3個の代金」を式にすると，「3×5はダメという指導に遭遇した」ということから問題化していったと，冒頭に記されています．
外国の式の解釈については，現代化（数学教育の現代化運動）が巻き起こっている1968年に，中島健三が書いた記事を，無視するわけにいきません．抜粋します．

4) 4×2は，英語ではfour times twoまたはfour twosなどという関係で，乗数と被乗数がわが国の場合と反対になっている．
8) 以下では，乗数，被乗数の順については，わが国の表記による．
9) (略)なお，註4)で，アメリカでは，乗数を先にかくとのべたが，最近では，わが国の場合のように，乗数をあとにかく方法（乗数をoperatorとしてみる場合に統一的にでき便利である）をかなり取り入れるくふうがされている．この場合，3×4は3 multiplied by 4などと呼んでいる．

国際比較の中で，「かけ算の順序」という表記を用いた報告書もあります．日本と英語での式を比較したあと，「例えばタイでは自然な語順が日本語式であるにもかかわらず、教科書は英語式の順番に従っている。単にかけ算の順序が逆になっただけで小さなことのようであるが、初めての学習者にとってはかなりの認知的な負担が強いられるだろう」と指摘しています．報告者（馬場卓也）はその後，啓林館の算数教科書の翻訳にも携わっています．
英語圏のみにおいても，検討がなされています．Anghileri & Johnson (1988)では，3×4という式の解釈に"3 multiplied by 4"，"3 times 4"，"3 fours"の3つがあるといいます．ですが直後の段落では，「4つずつキャンディを持っている3人の子どもは，3つずつキャンディを持っている4人の子どもよりも，運がいい（キャンディの総数は同じなのだけれども）」という文により，何が同じで何が異なるかを，式なしで説明しています．
式も載っていて，「a×bとb×a（例えば，5×6と6×5）が同じでないような，日常生活の例を挙げなさい」という練習問題で反映されています．
この練習問題は，かけ算の式が「かける数×かけられる数」という指導においても，また「かけられる数×かける数」と指導していても，答えを書くことができます．ですが，どちらでもいいという立場の人々には受け入れられない出題でしょう．

算数・数学教育つれづれ草

算数・数学教育つれづれ草

日常のかけ算，GreerやVergnaud

2012年2月に，『かけ算には順序があるのか』の著者ブログにおいて，当ブログを批判する記事が掲載されました．

ただし，記事を目にしたのは，コメント4件が出揃ってからでした．最初のコメントについては，自分の考え方を擁護してくれているというよりは，より広く深い世界の存在を教えてもらったという感が強いです．算数・数学教育の実情について，自分1人で情報収集するのは非効率なのを知るとともに，あまり手がつけられていない分野，具体的には日常生活におけるかけ算の使われ方へと，意識をシフトするきっかけにもなりました．
日常生活における「×」について，算数から離れた使い方もずいぶん目にしますが，箱詰めされた商品を見ていると，「1つ分の数量×いくつ分」ばかりです．
この表記法で統一すれば，「何がいくつ」が容易に分かるという利点があります．実際，「5円×8」と書いたら，「5円のものが8つ」と読めますが，「8×5円」だと，「8円のものが5つ」か「5円のものが8つ」か，曖昧なのです．ちなみに「5円×8」の形の式は，昭和初期，『緑表紙教科書』の編纂にあたっても考慮されています．
上記記事に話を戻して…
最初のコメントには「Greer」「Vergnaud」の名前があります．彼らの著作をざっと読み，自分なりに翻訳しながら，次のことを思いました．「小学校で学ぶかけ算がどのようなものであるのか?」を知るには，これらの文献を取っかかりにすべきであり，ネット上の情報の整理は，そのあとでもかまわないな，と．
とはいえ純粋な算数教育というだけでなく，大人モードでの成果もありました．Vergnaud (1988)の知見をもとにすると，「10cm×7000kcal＝70000kcal」や「おじゃまぷよの数×500の全体攻撃」といった式において，かける数を1あたりに，一般化すると，かけられる数と積とを仲立ちする数量に，置き換えればよいと分かります（「次元解析」です）．そしてその見方が，小学校の，かけ算を学習するときには適切でないことは，「20ドルは，5台の車＋5台の車＋5台の車＋5台の車にはなり得ない」と訳せる文および例題によって，確認できるわけです．
Greer (1992)では多くの文献や図・事例を取り上げ，解説するとともに，かけ算・わり算のモデルが表になっています．7種類（同数のグループ，等しい量，割合，単位の変換，乗法的な比較，部分と全体，乗法的な変化）は，かけ算が1つにわり算が2つ，3種類（デカルト積，長方形の面積，量の積）は，かけ算が1つにわり算が1つという構成です．20年以上前の文献ですが，今年4月に出た，文章題(word problem)に関する総説でも，引用されています．
「かけ算が1つにわり算が2つ」「かけ算が1つにわり算が1つ」は，表の見かけの話です．それらは，「被乗数×乗数」「因数×因数」と書き分けることもできます．乗算記号を用いなければ「2に3をかける」「2と3をかける」の違い，となります．このとき「2を3にかける」は，「2に3をかける」と異なります．
洋書の解説は，かけ算の順序にまつわる「イエス・バット」においても，示唆に富んでいます．Vergnaud (1983)だと「（ケーキ代を求める文章題に対し）4×15か15×4のいずれかの式で表す」，Greerだと「『あるロケットは1秒間に16マイルのスピードで進む．0.85秒ではどれだけ進むか?』『あるロケットは1秒間に0.85マイルのスピードで進む．16秒ではどれだけ進むか?』純粋に，計算の観点では，どちらの問題も，16と0.85をかければ答えとなる」と，交換法則を示唆する言説がイエスのところ（バットより前）に出現しています．とはいえ，この構文を使ったとき，主張したいのはバット以降であり，Vergnaudでは「4個×15セントによって60セントが得られ60個ではないのがなぜかというと，明らかではない．」，Greerでは「前者のほうが，答えとして乗法を使用すると考えるのが難しい．実際，多くの子どもたちが，16÷0.85を解答として選択している」と続きます．
これらはネットで見かける批判，例えば「小学校で，1つ分の数×いくつ分で導入するのはかまわない．しかし，かけ算というのは，どちらでもいいんだよ」と主張するのと，好対照となっています．

「小学算術」の研究

「小学算術」の研究

乗法の意味の拡張

Greerの「前者のほうが，答えとして乗法を使用すると考えるのが難しい」を，掘り下げると，高学年のかけ算の注意点が見えてきます．

  • 間違えやすい問題：あるロケットは1秒間に16マイルのスピードで進む．0.85秒ではどれだけ進むか?
  • 間違えにくい問題：あるロケットは1秒間に0.85マイルのスピードで進む．16秒ではどれだけ進むか?

間違えにくい問題からみていくと，式は（日本式で）0.85×16なのですが，0.85＋0.85＋…＋0.85という，数量の関係を得ることもができます．間違えやすい問題は，16×0.85と表せます．交換法則を知っていれば0.85×16になってあとは同じじゃないか，というのは大人の言い分であって，子どもたちの認識はそうではない，というわけです．
これには「乗数効果」という名称がついています（経済学にもこの用語がありますが，意味は異なります）．かけ算で求められると認識・選択することの困難さが，かける数が「整数」「1より大きい小数」「1より小さい小数」のうちどれであるかに依存し，かけられる数の種類には依存しないことをいいます．1980年代にイタリアで，小数のかけ算・割り算の文章題を用いて，調査が行われたほか，国内でも，小原豊が小数のかけ算に対象を絞って出題し，乗数効果を確認しています．
日本の算数において，高学年のかけ算学習は，どうなっているかというと，主に3パターンに分かれます．まず「量と測定」の領域では，4年で長方形・正方形の面積を学習します．5〜6年で，三角形・平行四辺形・台形，そして円の面積へとステップアップします．それから「数量関係」の領域で，交換法則・結合法則・分配法則が，○や△などを使った等式としてまとめられます．
ですが高学年かけ算で，最も関心が持たれているのは，5年の「数と計算」の領域にある小数のかけ算，具体的には，乗数が小数の場合の乗法です．このタイプでは，(1)累加で計算ができない，(2)積がかける数よりも小さくなる場合がある，といった点で，それまで学習してきたかけ算と質的に異なってきます．（なお，被乗数が小数，乗数が整数のかけ算，すなわち小数×整数のタイプは4年で学習します．『小学校学習指導要領解説 算数編』では，「例えば，0.1×3ならば，0.1＋0.1＋0.1の意味である」と記載があります．Wikipediaの「かけ算の順序問題」の改訂に携わり，反映させました．）
整数×整数，小数×小数（導入では整数×小数＝整数の場面がよく見られます）に関する，かけ算の指導は，「乗法の意味の拡張」と呼ばれることもあります．
この観点で，児童に調査を実施したのは，再び中島健三です．1968年の日本数学教育会誌に載った調査では，「7×2.4」の意味について，累加を含む6種類を提示して児童らに選ばせたり，さらなる意味の拡張（「乗法の式の表わす抽象的（関数的）な意味」）についても問うています．
この文献を引用し，「7×2.4」の式を用いた，児童や，教師志望の大学生を対象とした理解度調査も，1990年代と2000年代になされています．このうち浅田真一による調査では，「7×2.4の式で求められる問題を1つ作りましょう」として作問（解答者に問題を作らせること）をしてもらい，分析にあたっては2.4×7になるものを区別しています．

アレイ

『かけ算には順序があるのか』に立ち返りましょう．p.67の上部に，2行3列に並べた花の絵があります．これは2001年の中国の教科書からで，並びの右には「2个3」，下には「3个2」とあります．「2×3」「3×2」の式に対応します．2種類のたし算の式，かけ算の式もあり，本文と合わせて，中国では被乗数（かけられる数）・乗数（かける数）という区別をしない（それらの用語も使わない）と例示しています．
長方形配列はアレイ図（または単にアレイ）と呼ばれます．この用語を陽にせず，アレイでモデル化できるものや，かけられる数とかける数の区別をしない文脈（この事例や分析については前述のGreer (1992)が明快です）を持ち出して，こういうかけ算もあるじゃないかと批判するのを，志村五郎や松本幸夫といった数学者の著述より見ることができます．
アレイによるかけ算の意味づけ，というと，1960年代のSchool Mathematics Study Group (SMSG)を，現代化とともに想起しないといけませんし，明治時代の「算術教科書」（今の教科書ではなく，教師用指導書の意味合いが強いですが）でも，かけ算の交換法則を説明するのに，アレイを用いているものがあります．
そんなにアレイが有用なら，これで指導していけばいいじゃないか…とはいきません．
現代化およびSMSGについては「過去のもの」となっています．Vergnaud (1983)に見られる以下の言及（私訳）は，そのことを踏まえています．

デカルト積は，（積の考え方として）非常にいいので，フランスではとにかく，小学校の第2〜3学年でかけ算を導入する際に非常によく使われてきた．しかしこの方法で導入すると，多くの児童が，かけ算の理解に失敗している．量の積として，デカルト積による算術的（乗法的）な構造というのは実のところ非常に難しく，複比例として理解できるようになるまでは，その修得は困難である．単純な比例（割合）の問題を最初にもってくるべきである．

アレイとデカルト積（直積）との関連については，中島健三による図が有用です．

「量の積として」について，補足しておきましょう．15セントのケーキが4個で「15セント×4個＝60セント」と表せるのに対して，15行4列に並んだおはじきの総数だと「15個×4個＝60個」になり，また縦15cm，横4cmの長方形の面積は「15cm×4cm＝60㎠」となりますが，それぞれの積の単位はどのようにして決めればよいのかを考えてみます．日本の算数では，「一つ分の数×いくつ分」をもとに，結果の量の種類を決定できる*1のに対し，アレイやデカルト積で導入すると，そうはいかないと言っているわけです．中国の指導においても，量の扱いで不具合があることを，現場の授業を見た人が指摘しています．
日本の算数教育はというと，アレイは各社の算数教科書に出現しています．バリエーションもあり，例えば東京書籍の2年下では，教室内のロッカーやお面などの写真から，アレイを見つけることができます．おはじきによる図では，純粋な長方形配置のほか，その中の1行分や1列分を他と区別し，それを1つ分の数とするような提示も見られます．
今月出版された，筑波の算数（筑波大学附属小学校算数研究部）の先生方の著書では，アレイを持ち出しながら，交換法則は一切現れません．12×18を求める式に「12×6×3」「12×9＋12×9」「12×9×2」「12×10＋12×8」を並べています．結合法則・分配法則ばかりです．
これに意味づけを図るなら，交換法則を適用して12×18＝18×12と表したとしても，そこから，12×18を効率良く，またミスせずに計算するための手がかりが得られない，となります．結合法則・分配法則の式では，乗数が減っており，10以下となっています．そうすれば累加で計算できるというわけです．

数学をいかに教えるか (ちくま学芸文庫)

数学をいかに教えるか (ちくま学芸文庫)

筑波発　問題解決の算数授業 (初等教育学の構築を目指して)

筑波発　問題解決の算数授業 (初等教育学の構築を目指して)

□×△と△×□，答えは同じだけど，意味は違う

「□×△と△×□，答えは同じだけど，意味は違う」を見ることができる指導例を2例，紹介します．
一つめは，作問指導です（『さんすうの授業 第1階梯』）．教える側は式を提示し，児童らはその式に合う問題文ではなく絵を描き，先生に見せます．

③式を見て絵題づくり
「3×2になる問題を絵で書いてごらん」といってやらせてみると，子どもたちは喜んで絵をかきます。
〔子どもがつくった3×2の絵題〕

ところが，2×3の絵題になっている子がいます．

そこで，Mくんにたずねてみました．
T「○○パンの車の絵ね」
M「そう」
T「うまいねえ．きみ，このトラックの問題は何×何の問題?」
M「3×2」
T「そうか……じゃあ，このトラックの絵の横に，3×2のタイル図をかいてごらん」
M（わらばん紙の余白にフリーハンドで右の図をすらすらかく．）

T「よし，じゃあ……かけ算のことばでいうと，①は? きみのはトラックだから」
M「1だいに3人」
T「は?（引用者注：タイル図における分量の部分を問うています）」
M「2だい．あれ?」（自分の絵は1台に2人になっています．）
M「……」
だまって自分の机についたMくんは，こんどはつぎの絵をかいて持ってきました．

こんどは3×2の問題になっています．このように，かけ算の図のかき方がわかり，すいすい作図ができるようになっている子でも，かけ算の意味や，1あたり量の意味がしっかり身についていないことがあります．

タイル図や1あたり量は，本質ではありません．上記のやりとりから，児童Mが，与えられた式と，最初に描いた絵とを比較し，自らギャップに気づいて修正を図っているのが，大事なところです．教育者にうってつけのエピソードであるとともに，学校教育を少し離れ，今でいうメンタリングを行っていることも見て取れます．
次の例は海外の授業です．3年で，乗法の交換法則を学習しています．2つの数をかけた答えと，反対にしてかけた答えが同じになります．値をいろいろ変えて計算しても，答えが同じであり，いわば帰納的に，交換法則を理解していく状況で，児童らが発言し，教師（Mrs. S）がいくつか問いかけてから，討論の整理を行っています．

1. Eddie: Well, I don't think it matters what order the numbers are in. You still get the same answer. But the multiplication sentences are different because they mean different things.
2. Mrs. S: OK, Rebecca, do you agree or disagree with what Eddie is saying?
3. Rebecca: Well, I agree that it doesn't matter which number is first, because two times five equals ten and that's the same answer as five times two. But I don't get what Eddie means about the multiplication meaning different things.
4. Mrs. S: Eddie, would you explain what you mean?
5. Eddie: Well, I just think that the two times five that Rebecca used can mean two groups of five things like two bags of five apples. And five times two means five bags of two apples. Those aren't the same at all.
6. Tiffany: [Hand up, waving] But you still have the same number of apples! So they do mean the same!
7. Mrs. S: OK, so we have two different ideas here to talk about. Eddie says that order does matter, because five times two and two times five can each be used to describe a different situation, like two bags of five apples or five bags of two apples. So the two number sentences mean different things. And Tiffany, are you saying that those two number sentences can't be used to describe two different situations?
8. Tiffany: No, I mean that even though the two situations are different, the answer is the same.
9. Mrs. S: OK, so you're saying that order doesn't matter because the answer is the same?
10. Tiffany: Right.
11. Mrs. S: OK. We need to think about this. In Eddie's statement, order makes a difference in the situation you're describing. In Tiffany's statement, order doesn't make a difference in the answer we get. So when does order make a difference in multiplying two numbers together?

この授業から「かけ算の交換法則を学習したら，□×△でも△×□でもいいのだ」を得ることはできません．"So they do mean the same!"と言うTiffanyに対して，教師は"And Tiffany, are you saying that those two number sentences can't be used to describe two different situations?"と問いかけています．
「□×△と△×□，答えは同じ」が交換法則です．「だけど，意味は違う」は，授業に携わってきた人々の知見として，著書から知ることができるという次第です．

さんすうの授業 第1階梯―自主編成研究講座 小学校1・2・3年生

さんすうの授業 第1階梯―自主編成研究講座 小学校1・2・3年生

（予告：ここに1つ，トピックを挿入する予定です）

かけ算の「順序」とは

『かけ算には順序があるのか』のまえがきに，以下のとおり，「かけ算」と「順序」の両方を含む文があります．

でも，いま小学校では，かけ算は，（1つ分の数）×（いくつ分の数）の順序で書く，と教えられているのです．

この実態を確認できるような，算数の教科書や，教師向けの（書店で入手可能な）本を見ても，「順序」はなかなか見当たりません．
算数の教科書で，かけ算の「順序」や，「かけ算はかける順序はどちらでもいい」（これも，まえがきにあります）といった教え方は，結合法則で使用されています．
例えば，ある学習指導案では，「1こ90円のシュークリームが、1はこに3こずつ入っています。2はこ買うと、代金は何円になるでしょう？」という出題に対して，90×（3×2）＝（90×3）×2を導き，「かけ算はかける順番がかわっても、答えは変わらない」とまとめられています．
なお，交換法則は例えば「かけ算では，かけられる数とかける数を入れかえて計算しても，答えは同じになります」と表されます．
交換法則と結合法則を合わせて，（計算の）順序について言及があるのは，中学数学の教科書になります．また1904年に刊行され，文庫本で読むことのできる『新式算術講義』でも，「組み合はせの法則」（現在の結合法則）と「交換の法則」のそれぞれに対して，因数の順序という表現を用いています．
小学校の算数に戻り，また別の情報源にあたっておきます．文部科学省が公表している『小学校学習指導要領解説 算数編』について，2008年に出された最新版は，PDFで読んだり，機械検索を行ったりすることができます．「順序」を検索すると，上記まえがきの意味での用いられ方が出現しないことも見て取れます．

新式算術講義 (ちくま学芸文庫)

新式算術講義 (ちくま学芸文庫)

算数教育における，「かけ算の順序」の見解

「なかなか見当たりません」と書いたのですが，さまざまな観点で整理された解説の中に，出現しているのも事実です．守屋誠司編著『小学校指導法 算数』pp.91-92の，以下の箇所です．

乗法の場面、「1ふくろにミカンが3こずつ入っています。5ふくろでは、ミカンは何こでしょう。」は、3×5と立式される。立式は、「1つ分の数×いくつ分＝全体の数」とまとめられ、それぞれ被乗数、乗数という。ところで、「オリンピックの400メートルリレー」や「このDVDは16倍速で記録できる」、「xのk倍は」の式は、どのように表わされるであろうか。それぞれ、一般的には「4×100mリレー」、「16×」、「kx」と表される。被乗数と乗数の位置が教科書の書き方と逆になっていることに気付くであろう。この例から分かるように、乗法では、数の位置ではなく、数が意味する内容に注目して、どの数が1つ分の数であるか、いくつ分はどの数かをしっかりと読み取ることが大切である。第2学年や第3学年では、読み取った数を、「1つ分の数×いくつ分＝全体の数」と表現できることが重要であり、逆に、この立式ができているかで、数の読み取りができているかを判断できる。しかし、高学年になり、乗法では交換法則が成り立つことや外国での立式を知り、数の意味をしっかり理解できていれば、必ずしも第2学年で学んだ順序で立式することを強制しなくてもよい。

最後の「第2学年で学んだ順序で立式することを強制しなくてもよい」が，この文章で最も言いたいことだ，と解釈するわけにもいきません．むしろ指導にあたっての要所は，その1つ前，「第2学年や第3学年では」から始まる文です．
ところでこの本は2011年2月25日 初版第1刷発行となっています．『かけ算には順序があるのか』よりほんの少し前です．
同じ趣旨で，「順序」は出現しないものの，「2年生の導入時では，被乗数と乗数を明確に区別して扱っている」としている解説が，2010年11月の日本数学教育学会誌に載っています．英訳もなされています．

小学校指導法 算数 (教科指導法シリーズ)

小学校指導法 算数 (教科指導法シリーズ)

あとがきにかえて

この記事を書くきっかけの一つは，以下のTogetterまとめです．

ああごくろうさま，自分は手助けできないなあとか思いながら，読み進めると，驚くべきツイートにぶつかりました．絡まれた側が『かけ算には順序があるのか』を持ち出し，その後，その本を読んでいないと主張しているのです．
ところで絡んだ側は，本人の申し出により，増刷で謝辞から名前が消えた方ではなかったかと思料します*2．
もう少し，思うところを書きますと，『かけ算には順序があるのか』が刊行されて4年が経過し，1回分の教科書検定のサイクルが過ぎて，今年度から新しい教科書になったのを振り返ったとき，ツイートを中心とするネット上の騒ぎは何なんだろいうという，もやもや感があります．
批判する人々は批判だけ並べて，教える側の改善を待ち，思うように改善されていなかったらまた批判している，結局のところ非生産的だと言ってみても，空虚なものです．
ここで，当ブログの状況を振り返ってみます．かけ算をはじめ算数教育で見かけた批判に対して，批判することが多いのですが，その中で「かけ算の順序」という表記を多用しているのは，検索エンジン対策という意味合いがあります．
対策といっても，必ずしも上位を目指しません．リファラがYahooなどの検索結果ページなら，アクセスしてその検索語の上位記事をチェックします．当ブログの記事の順位にかかわらず，関連情報を教えてもらえる機会となります．
あるいは，自治体や教育機間のドメインからのアクセスを，ログから見かけたときには，身が引き締まります．
ただこの認識も，去年あたりから変わりつつあります．一つは，当ブログの特色は算数・数学ではなく，大学生活や学会関連のノウハウであることが，アクセスログに現れているからです．
心理的にも，間違いのない文章を提供しようという意識から，間違いやその後に得た情報は，つけ加えて新規の記事にすればいいじゃないかと変わっています．
むやみに字数を増やすのではなく，自分が「なるほど!」と体感したことを，するすると文字にし（ときには絵や写真も活用し），今後も1日1件のペースで公表していくとします．ご愛顧のほどよろしくお願い申し上げます．

（最終更新：2015-06-26 朝）

*1:面積は，2つの長さをかけ合わせるのではなく，1cm×1cm＝1㎠の正方形が，15×4＝60個あることから，1㎠の60個分で60㎠を得ます．あえて式にすると，「15cm×4cm＝1㎠×15×4＝60㎠」です．ともあれこれは考え方であって，小学校でこのような式を指導しているわけではありません．具体的な出題への解答としては，「15×4＝60　答え60㎠」となります．

*2:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20111105/1320439919