式の思い違い8選 - わさっきhb

いきなりですが問題です．以下の解答はどれも不正解です．どのようにすれば正解となるか，そしてなぜ間違えたかを答えましょう．

(1)
問題：4x＝46を解け．
解答：x＝6

(2)
問題：xy＝-8を満たすxとyの値の組を一つ答えなさい．
解答：x＝-3，y＝-5

(3)
問題：xとyは正の整数とします．x＋y＝4に当てはまるxとyの値の組をすべて答えなさい．
解答：「x＝1，y＝3」「x＝3，y＝1」

(4)
問題：（x−30）より15多い数を式で表しなさい．
解答：（無回答）

(5)
問題： $\sqrt{16+9}$ を計算しなさい．
解答： $\sqrt{16+9}$ ＝ $\sqrt{16}$ ＋ $\sqrt{9}$ ＝4＋3＝7

(6)
問題：（x−a）（x−b）＝kを，xについて解きなさい．
解答：x＝k＋a，x＝k＋b

(7)
問題： $A\times\frac{1}{A}$ を計算しなさい．
解答： $A\times\frac{1}{A}$ ＝0

(8)
問題： $\frac{x+1}{x+4}$ ＝ $\frac56$ を解きなさい．
解答：x＝4，2

解答の前に元ネタです．*1

藤井斉亮: 数と計算・代数における先行研究の整理と課題, 日本数学教育学会第35回数学教育論文発表会「課題別分科会」, pp.74-83 (2002). http://ci.nii.ac.jp/naid/110007175024

上記の問題の大部分は，この文献の後半に紹介されている，海外文献からの事例です．本記事作成において，アレンジしたものもあります．

といったところで順に見ていきましょう．(1)の「4x＝46を解け → x＝6」については，両辺を4で割ったとき，左辺はxになりますが，右辺は[tex:\frac{46}{4}]＝[tex:\frac{23}{2}]としないといけません．誤答について，2種類の読み間違いが考えられます．一つは4xを「よんじゅうエックス」とするもの(([https://twitter.com/LimgTW/status/640297417229774848]．ご指摘感謝．))，もう一つは46を（4xと同様に）「4と6の積」と判断してしまったものです．

(2)「xy＝-8 → x＝-3，y＝-5」は，そのxとyの値ではxy＝15≠-8となって間違いです*2．足し算と掛け算の取り違いをしています．xyという式にx＝-3，y＝-5を代入したとき，-3-5（この式を計算すると確かに-8です），ではなく，（-3）（-5）となります．正解となる組を一つ挙げるなら，x＝2，y＝-4でしょうか．
(3)「x＋y＝4」の誤答については，「x＝2，y＝2」が抜けています．異なる文字には必ず異なる値が入るという誤解に基づいています．
(4)「（x−30）より15多い数」について，正解を書くと，（x−30）＋15，またはそれを計算してx−15となります．簡単そうな問題について，上記文献では「文字が数を表すことの認識の欠落」を指摘しています*3．
(5)「 $\sqrt{16+9}$ ＝ $\sqrt{16}$ ＋ $\sqrt{9}$ 」は，足し算では根号を分けることができないのにやってしまった*4，ということで，(2)とは少し異なる種類の，足し算・掛け算の取り違いです*5．正しくは $\sqrt{16+9}$ ＝ $\sqrt{25}$ ＝5です．
(6)「（x−a）（x−b）＝k」は，間違った理由から先に書くと，AB＝K ⇒ A＝KまたはB＝Kとしていることです．とはいえそれは，K＝0のときにのみ成立します（誤った一般化，とも言えます）．面倒でも，展開と移項で「xの2次式＝0」にしてから，平方完成か解の公式で，解くしかありませんね．
(7)「 $A\times\frac{1}{A}$ ＝0」も足し算・掛け算の取り違いですが，(2)のミスとまた，性質が違うように思います．文献には「加法の単位元と乗法の単位元を混同する事例」と書かれていました． $\frac{1}{A}$ はAの逆数（乗法の逆元）なのに注意すれば，「 $A\times\frac{1}{A}$ ＝1」ですね．
(8)「 $\frac{x+1}{x+4}$ ＝ $\frac56$ → x＝4，2」は，分子と分母でそれぞれ等式（x＋1＝4，x＋4＝6）を作り，解いています．しかしながらx＝4を左辺に代入すると $\frac58$ ，x＝2だと $\frac36$ ＝ $\frac12$ となり，右辺と等しくなりません．「 $\frac{A}{B}$ ＝ $\frac{C}{D}$ ⇔ A＝C，B＝D」は一般に成立しません．
分母を払ったらxの1次方程式が得られ，解くと，x＝14です．念のため，もとの方程式の左辺に代入すると， $\frac{15}{18}$ となり，通分すれば $\frac56$ に一致します．

（最終更新：2015-09-08 朝．タイトルを「式の勘違い8選」（当初は「間違いだらけの数学テスト」でした）から変更し，(5)の問題と解説を差し替えました）

*1:著者は『数学教育学研究ハンドブック』のうち第3章教材論 §3 文字式の執筆者であるほか，平成27年度用東京書籍算数教科書の代表著作者でもあります．

*2:マイナス×マイナスはプラスになるから，決して-8にならない，というツッコミもできます．

*3:もう少し，引用すると：最も基本的であると思われる「文字が数を表す」ということ自体を十分に理解していない実態がDavisの研究において見出せる。また、Bellらは、「xより15多い」を「文字の式」に表すことは容易であるが、「（X−30）より15多い」を「文字の式」で表すことに生徒は抵抗を示すと報告している

*4:文献の中では，「線形性の利用による誤り」とラベリングしています．

*5: $\sqrt{16\times9}$ ＝ $\sqrt{16}$ × $\sqrt{9}$ ＝4×3＝12は，問題ありません（ $\sqrt{16\times9}$ ＝ $\sqrt{144}$ ＝12です）．