いきなりですが問題です．
82.8cmの直径の円があります。その3.23倍の直径の円の円周は何cmでしょうか。
求める式と答えを書きなさい。
円周率は3.14とします。
さっそくですが解答です．円周を求めたい円の直径は，82.8cmの3.23倍ですから，82.8×3.23で求められます．そして円周＝直径×円周率を使えば，円周は82.8×3.23×3.14という式で表されます．暗算できそうにないので，電卓で計算してみますと，839.77416となりました．答えは839.77416cmです．めでたしめでたし．
それで終わったら苦労はしませんで，まずは元ネタを挙げておきます．
- 佐藤敬行, 問題づくりを通して乗除演算の意味を考える―「いろいろな文章問題」（小学校5年）の実践から, 教授学の探究, 北海道大学大学院教育学研究科教育方法学研究室, Vol.23, pp.27-54 (2006). http://ci.nii.ac.jp/naid/120000964041 http://hdl.handle.net/2115/13659
実際の文章題は，p.49に見られます．作問課題を通じて，子どもが作った問題とされています．
本文に，授業中のやりとりも載っています(pp.31-32)．「 」が先生，『 』が子どもの発言でしょうか．
「（2）の式は?」『82.8×3.14×3.23』「え，ちがうよ，（82.8×3.23）×3.14だよ。かける順番を逆にしても結果は同じだけど，式としては間違いだよ。まぎらわしいんだよな，数値が。でも考え方は（82.8×3.23）×3.14だからね」
高学年の小数の計算でも，かけ算の順序に注意して指導しているんだと思いながら，読み進めると，その直後に，後日談がカッコ書きとなっていました．
（後に気がついたことだが，直径が3倍になれば円周も3倍になると考えると両方とも同等に正しい。）
冒頭の文章題に対して，82.8×3.14×3.23あるいは（82.8×3.14）×3.23の式もまた，正解になるのだといいます．
この主張を確かめるため，「82.8cmの直径の円」を「小さな円」，「その3.23倍の直径の円」を「大きな円」と名付けておいてから，次の4つの数量を考えることにします．
- A：小さな円の直径
- B：大きな円の直径
- C：小さな円の円周の長さ
- D：大きな円の円周の長さ
そうすると，「さっそくですが解答です」として書いたロジックは，AをもとにBを経由してから，Dを求めている（Cは出現しない）ことがわかります．それに対し，あとで正解と判明した式は，AからCを得て，そして「直径がp倍になれば円周もp倍になる」という性質を使い，Dに至った（Bは出現しない）と考えれば，納得がいきます．
ここで当ブログの過去の記事と照合しましょう．3口のかけ算，かけ算の順序です．小学校ではa×b×c，大人モードで次元を入れるとn1[d1]×n2[d2]×n3[d3]で表せるような場面について，教科書をはじめこれまで見聞きしてきた情報をもとに，自分なりに整理を試みたのでした．
ここまで見てきた文章題では，2番目と3番目の因数がともに無次元量であり，倍の操作を表しています．これは《倍の合成》と共通します．その一方で，2番目と3番目の因数を交換できる（ただし最初の因数は固定）というのは，《2つに比例》の性質です．
どうやら今回見てきた，円周を求める問題は，《倍の合成》とも《2つに比例》とも異なる種類に位置づけるのが良さそうです．類題（後述）も考えられますので，《相似な図形の長さ》と命名したいと思います．
《相似な図形の長さ》が，《倍の合成》や《2つに比例》とどこが違うのかというと，上記のABCDを使うなら，D÷Aという計算，言葉にすると「最終的に求める数量が，場面の最初の数量の何倍になるか」を得ることに意味がない，となります．
実際のところ，冒頭の文章題で，「大きな円の円周は，小さな円の直径の何倍か」という問題を，考えることはできて，それは3.23×3.14でも3.14×3.23でも，839.77416÷82.8でも求められます．だけれど，その数値に，数量関係として何か意味づけをするというのは，他の可能な「何倍になるか」と比べて，困難というわけです．
もう少しだけ，個人的な理解の状況を書いておきますと，この文章題を見つけて，本文の後日談にも感銘を受け，はてブをしたのは，今月16日のことです*1．ABCDの4つの数量に気づいたのは，その日，昼食をとりに大学のメインストリートを下っていたときで，D÷Aによって，以前に書いた場面と区別できると思いついたのは，メインストリートを上って戻っていたときでした．
小学生が式を立てて計算でき，《相似な図形の長さ》に分類できる問題を2つ，書いておきます．
- 小さな正方形と，大きな正方形があります．小さな正方形の1辺の長さは3cmです．大きな正方形は，小さな正方形の2倍の大きさです（1辺の長さが2倍です）．大きな正方形のまわりの長さは何cmですか．
- 1:50000の地図（地図上の長さは，実際にはその50000倍になります）の上に，3つの地点A，B，Cがあります．地図でAとBの距離は3cmです．AとCの距離は，AとBの距離の4倍です．AとCの距離は，実際には何kmですか．
