二乗九九で，答え一発!

　　「パパに，もんだいです」
　　　「あとの子か，何や?」
　　「11かける11は?」
　　　「ん? 121（お姉ちゃんに教えてもらったのかな…）」
　　「正かいです．じゃ，つぎ，12かける12は?」
　　　「144やん」
　　「えーパパすぐ答え言えるのぉ? じゅうさ…」
　　　「13かける13は，169．14かける14は，196．15かける15は，225」
　　「…」
　　　「16かける16は，256．17かける17は，289．18かける18は，さんびゃくよ…じゃない，324」
　　　「19かける19は，361．20かける20は，400．21かける21は，441．あとの子よ，もおええか」
　　「もうええよぉ!」

ワンライナーで答え合わせ

$ ruby -e '1.upto(21){|i|puts"%2d * %2d = %3d"%[i,i,i*i]}'
1 * 1 = 1
2 * 2 = 4
3 * 3 = 9
4 * 4 = 16
5 * 5 = 25
6 * 6 = 36
7 * 7 = 49
8 * 8 = 64
9 * 9 = 81
10 * 10 = 100
11 * 11 = 121
12 * 12 = 144
13 * 13 = 169
14 * 14 = 196
15 * 15 = 225
16 * 16 = 256
17 * 17 = 289
18 * 18 = 324
19 * 19 = 361
20 * 20 = 400
21 * 21 = 441

最近読んだ本より

算数の先生 (ちくま学芸文庫)

兄「えらい! すっかりにいさんの手品のたねをみすかされてしまった。まったくおまえのいうとおりだ。1から始まる奇数数列の和は、いつでもその項数の二乗に等しいものなんだよ。つまり項数（1, 3, 5, 7, 9）五この和は25、八こでは64、いっぱんにnならば、和はになる。それにしても、おまえは16の二乗をすぐに256といったね。」
二郎「はい「二乗九九はおぼえておくがよい。」と先生がおっしゃったので、ぼくは20まで暗記しています。」
兄「ますますえらい! 二乗九九は代数計算では始終でてくるものだから、いまからおぼえていることは、ひじょうにけっこうだよ。」
(pp.239-240)

なお，p.239の上部には，1×1＝1，2×2＝1＋3，3×3＝1＋3＋5，…，6×6＝1＋3＋5＋7＋9＋11というのが分かる図（wikipedia:平方数の丸の並びと同様のもの）があるほか，p.241には枠で囲って，「20までの平方九九の表」が記されています．

思うこと

「二乗九九」「平方九九」という表記は，興味深かったのですが，個人的には11から20までの二乗は，暗記するというよりは，まずは筆算で求め，電卓*1で検算し，それから，平方数のさまざまな性質を見つけるという流れで，理解を深めるのが，2年のかけ算の九九（乗法九九）と関連づける*2ことができてよいのではと思っています．
上記引用に「1から始まる奇数数列の和は、いつでもその項数の二乗に等しい」というのがありますが，逆に平方数から出発してみます．0から始まる平方数を数列とみなして（0, 1, 4, 9, ...）その階差数列を考えると，1, 3, 5, ...ですので，正の奇数を小さいものから並べたものとなります．
冒頭の会話の中で，もし，18×18＝342と計算ミスをしてしまっても，17×17＝289と19×19＝361の間に「18×18＝342」がくるというのが不自然と気づくわけです．実際，18×18−17×17＝342−289＝53，19×19−18×18＝361−342＝19というのは間隔がおかしいです．正しくは，18×18−17×17＝324−289＝35，19×19−18×18＝361−324＝37です．
11から20までの二乗の中には，算数・数学以外の分野で基本となる数があります．16×16＝256は，8ビットで表せる数が256通りあることを意味しますし，19×19＝361で，まっさきに思い浮かぶのは囲碁の19路盤です．

2のべき乗九九

「2の何乗」というのも，何の部分を1から順に変えていって，計算することができます．ここでもワンライナーで，出力させましょう．

$ ruby -e '1.upto(32){|i|puts"2 ^ %d = %d"%[i,2**i]}'
2 ^ 1 = 2
2 ^ 2 = 4
2 ^ 3 = 8
2 ^ 4 = 16
2 ^ 5 = 32
2 ^ 6 = 64
2 ^ 7 = 128
2 ^ 8 = 256
2 ^ 9 = 512
2 ^ 10 = 1024
2 ^ 11 = 2048
2 ^ 12 = 4096
2 ^ 13 = 8192
2 ^ 14 = 16384
2 ^ 15 = 32768
2 ^ 16 = 65536
2 ^ 17 = 131072
2 ^ 18 = 262144
2 ^ 19 = 524288
2 ^ 20 = 1048576
2 ^ 21 = 2097152
2 ^ 22 = 4194304
2 ^ 23 = 8388608
2 ^ 24 = 16777216
2 ^ 25 = 33554432
2 ^ 26 = 67108864
2 ^ 27 = 134217728
2 ^ 28 = 268435456
2 ^ 29 = 536870912
2 ^ 30 = 1073741824
2 ^ 31 = 2147483648
2 ^ 32 = 4294967296

これも「九九」と同じように暗記するとしたら，まずは2の10乗まででしょうか．欲張るなら，1ずつ増やして覚えるより，2の16乗（アーキテクチャに依存しますが1ワード）と2の24乗（RGBが8ビットずつ，True Colorの色数）でしょう．
別の見方として，2の10乗はおよそ1000（千），2の20乗はおよそ1000000（百万），2の30乗はおよそ1000000000（十億）というのもあります．「キロバイト」と「キビバイト」の違い…と言っていくとまたコンピュータ関連になってしまいます．
上記の答えについて，そろばんや電卓やコンピュータを持ち出すことなく，「1＋1＝2，これが2の1乗」「2＋2＝4，これが2の2乗」「4＋4＝8，これが2の3乗」というように，たし算だけで求めていくことができます．うえの子もさきの子もあとの子も，1年のとき，「1たす1は?」「2たす2は?」「4たす4は?」「8たす8は?」として，満足のいくまで順に計算していました．

*1:個人的にはPC使用中はたいてい，端末エミュレータを起動していますので，zshの自作function http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20101217/1292526657 で「_ 11*11」といったコマンドを実行して計算することが多いです．

*2:念頭に置いている乗法九九の性質には，「乗数が1増えれば積は被乗数分だけ増えること」があります．交換法則は，二乗九九・べき乗九九に対して，活用できそうにありません．