「(a＋1)×b＝a×b＋b」探し

教科書は，「この表から，いろいろなきまりを見つけましょう」と問いかけています．
文部科学省の「学習指導要領解説」が，子どもたちに見つけることを期待している「きまり」とは次のようなものです．
(1) かける数（乗数）が1増えると答えは，かけられる数（被乗数）だけ増える．次の(2)と関連させると，かけられる数が1増えると答えは，かける数だけ増える．
(略)

上記のうち，「次の(2)と関連させると，かけられる数が1増えると答えは，かける数だけ増える．」は，読んだ当初から「いやそんなことは」でした．
その後，いろいろ本や学習指導案，授業例の文書を読んできたものの，やはり，該当するものは，ありませんでした．

(a＋1)×b＝a×b＋b

時間をとって探したところ，3件，見つかりました．刊行年は，1951年，2009年，そして今年です．

小学校学習指導要領 算数科編(試案) 昭和26年(1951)改訂版

これまでたびたび引用している箇所の，少し下にあります．

四年で「１個12円のりんごを５個買うと，代金はいくらになるか」という問題を解決する場合のことである。こどもは，まだ，二位数に基数*1をかけて繰上がりのある計算を学習していないのである。
(略)
りんごがたいそう安くて１個６円だったら，５個の代はいくらかになるだろうと発問してみた。６×５＝30の九々を使うことができた。これに力を得て，１個のねだんを７円，８円としだいに増して，かけ算を適用する考えを固めた上で，12×５の計算ができればよいことを，こどもに気づかせるように導いた。

V. 算数についての評価

6×5＝30，7×5＝35，8×5＝40，…，12×5＝60という式は，「かけられる数が1増えると答えは，かける数だけ増える」に合致しています．

『必備!算数の定番授業 小学校2年』

必備!算数の定番授業 小学校2年 (活用力の基礎を育む授業ベーシック)

「九九表から一部分だけぬきだすと?」という授業例が，pp.66-69にあります．2×2のマスを取り出して，縦や横，斜めに着眼して，「かけられる数とかける数の関係についてより深く考えることができる」(p.69)というのを意図しています．
同ページ最後の図が，まとめになっています（斜めの関係は割愛しました）．

どうやら，行が「かける数」，列が「かけられる数」で，これまで見てきたものと縦横が反対のようです*2．
ともあれ，横の変わり方は「かける数だけ増える」，たての変わり方は「かけられる数だけ増える」として，2つの性質を同等に扱っています．

『算数的活動実践事例集』

新学習指導要領対応 算数的活動実践事例集(全学年対応) (教育技術MOOK)

「かけ算のきまりをしらべよう」が，pp.18-19にあります．九九の表，そして「かけられる数×かける数＝答え」という言葉の式を前提として，子どもに，計算の性質や決まりを見つけてもらおうという活動です．
この2つのページにまたがって，「予想される子どもの反応」があります．

１「かける数」と「答え」の関係（「かけられる数」が一定）
・○の段は、答えが○こずつ増える（減る）。
　（例）2の段は、答えが2つずつ増える（減る）。
・○の段は、かける数が1増える（減る）ごとに、答えが○こずつ増える（減る）。
　（例）2の段は、かける数が1増える（減る）ごとに、答えが2つずつ増える（減る）。
・かける数が1増える（減る）と、答えがかけられる数だけ増える（減る）。
２「かけられる数」と「答え」の関係（「かける数」が一定）
・かける数が○のとき、かけられる数が1増える（減る）と、答えは○だけ増える（減る）。
　（例）かける数が4のとき、かけられる数が1増える（減る）と、答えは4だけ増える（減る）。
・かける数が同じとき、かけられる数が1増える（減る）と、こたえはかける数だけ増える（減る）。

１は，「かける数（乗数）が1増えると答えは，かけられる数（被乗数）だけ増える」．２は「かけられる数が1増えると答えは，かける数だけ増える」に対応しています．
「○の段は」「かける数が○のとき」という書き分けにも，なるほどと思いました．
本題とは関係ありませんが，あとの項目に残念な記述があります．

４「かけられる数」と「かける数」の関係（結合法則）
・□×○＋△×○＝（□＋△）×○

これは「結合法則」ではなく「分配法則」です．単純な誤記だとしても，ひどい話です．

まとめ

冒頭で引用したうち，以下の文については，撤回します．

その後，いろいろ本や学習指導案，授業例の文書を読んできたものの，やはり，該当するものは，ありませんでした．

しかしながら，以下の文は変更なしです．

上記のうち，「次の(2)と関連させると，かけられる数が1増えると答えは，かける数だけ増える．」は，読んだ当初から「いやそんなことは」でした．

さらに言うと，当該エントリの撤回した箇所以外への影響は，ありません．というのも，「次の(2)」すなわち乗法の交換法則を使用させることなく，九九の表やアレイ図，うまく設定した場面をもとに，乗数が一定のときの被乗数と積の関係が説明できるからです．

余談

今回取り上げた2冊の本で，「かけ算の順序」あるいはかけ算の式で表すことについて，それぞれに興味深い記述があったので，かいつまんで書いておきます．

• 『必備!算数の定番授業 小学校2年』pp.110-113では，「24個入ったお饅頭」をもとに，どんな並び方があり，そしてかけ算の式に表せるかを，授業にしています．展開を読んでいき，ああこれが筑波スタイルですかと思いました．
• 『算数的活動実践事例集』p.45には，「4か月あるので1か月にクラスで50個、学年は3クラスなので、50×3×4で600個は集められるかな?」という子どもの発言が見られます．

*1:引用者注：見慣れない用語ですが，goo辞書にも，『算数教育指導用語辞典』にも載っていました．一位数と思って，よさそうです．

*2:Webで読めるものだと，九九表｜算数用語集は，行が「かけられる数」，列が「かける数」です．『かけ算には順序があるのか』p.50では，東京書籍2011年の教科書の表を載せていますが，同様です．『算数教育指導用語辞典』p.190の九九表には，かけられる数・かける数の記載がありません．