いきなりですが問題です．
５×３≠３×５の論争について，あなたの見解を，分かりやすく抽象的に表してください．
簡潔に表すなら，「束(lattice)」かなと思います．図にするとこう．
各文字の意味は次のとおりです．
- a ≡ 後述のbの求め方で得られる「３×５」，cの求め方で得られる「５×３」を比較し，cの書き方だとdと誤解される可能性を考慮してbの求め方を採用し，「しき」に「３×５＝１５」と書く．
- b ≡ 問題文から，「１つ分の大きさ」が（1皿あたり）3個，「いくつ分」が5枚であるのを読み取り，「しき」に「３×５＝１５」と書く．
- c ≡ 問題文から，皿に順にりんごを配ること*1をイメージし，「１つ分の大きさ」が（1回で配る）5個，「いくつ分」が3回であると解釈し，「しき」に「５×３＝１５」と書く．
- d ≡ 問題文から，かけ算で計算できる問題だと認識し，問題文に現れる数字のうち５と３を順に取り出して，「しき」に「５×３＝１５」と書く．
- e ≡ その他の誤答（白紙，数字の書き間違いなど）
これらは，もとの問題に対する，「しき」の書き方の類型です．ただし，以下の議論のための類型であって，すべてではありません．例えば，「bとcの求め方を比較して，最終的に「５×３＝１５」と書く」や「dの求め方で「５×３＝１５」と書きたくなるところだけど，これは引っかけ問題だと認識して，（「１つ分の大きさ」「いくつ分」の当てはめをすることなく）「３×５＝１５」と書く」も考えられますが，検討の対象外としています．
さて，このようにラベルをつけたa,b,c,d,eの間で，「x＞y」を「yの求め方よりもxの求め方のほうが望ましい」という関係と定義します．すると，次の関係が成り立ちそうです．
a＞b，a＞c，b＞d，c＞d，d＞e
「成り立ちそうです」としたのは，他にも関係を付け加えたり，あるいは関係を取り除いたりする余地があるからです．例えば，bで十分なら，「a＞b」の関係は取り除きたくなるわけです．
bとcの間には，b＞c，c＞bのいずれの関係もありません．この点に注意すると，上記の5つの不等式は，上の図からも分かるように，全順序関係ではなく半順序関係になります．x=yまたはx＞yであることを「x≧y」と書くと，束をなします．
次に，マルバツの仕方について，定式化を試みます．
P={a,b,c,d,e}
M={1,0}
と集合を定めると，正解・不正解を与えるのは，関数s:P→Mです．例の問題について，推測できる関数は，
s(a)=1, s(b)=1, s(c)=0, s(d)=0, s(e)=0
です．また，cも正解だと主張する人々は，
s(a)=1, s(b)=1, s(c)=1, s(d)=0, s(e)=0
もしくは
s(a)=1, s(b)=1, s(c)=1, s(d)=1, s(e)=0
を期待するわけです．
この関数sについてはまた後で見直すとして，別の種類の関数を考えます．まずAを，「しき」に書くことのできる全ての記述からなる集合とします．すると，関数f:P-{e}→Aが得られます．具体的には，
f(a)="３×５＝１５",
f(b)="３×５＝１５",
f(c)="５×３＝１５",
f(d)="５×３＝１５"
です．f(e)は一意に定まらないので除外します．
さらに，関数t:A→Mを作ることができます．「しき」から見たマルかバツであり，学校の先生が実施したマルバツ作業に対応します．実際のところ
t("３×５＝１５")=1,
t("５×３＝１５")=0,
t(それ以外)=0
ですね．公平のため，cも正解だと主張する人々は，
t("３×５＝１５")=1,
t("５×３＝１５")=1,
t(それ以外)=0
であることを，忘れるわけにはいきません．
最後に，f;t(x)=t(f(x))とすると，f;t*2はfとtの合成関数であり，f;t:P-{e}→Mです．その定義域においてf;t(x)=s(x)が期待され，途中に書いたs(a)=1, s(b)=1, s(c)=1, s(d)=0, s(e)=0は不適切となります．これは，cの求め方による「５×３＝１５」と，dの求め方による「５×３＝１５」は，区別できないことを示しています．
以上の定式化で，cを正解とすべきか否かに対する答えを与えることはできません．私にできるのは，cの求め方で答えを書いてバツをもらったという子に対しては，aに進みなさい，dやeだった子はbを目指しなさいと，アドバイスするのみです．
補足1: 元ネタ
補足2: 記号などの意味
- a〜e：ラベル
- x, y：変数
- P：Process
- M：Mark
- 1：正解（マル）, 0：不正解（バツ）
- s：scoring
- A：Answer
- f：formulation
- t：sの次
補足3: 図の作り方
$ cat > lattice5335.dot
graph lattice5335 {
a -- b;
a -- c;
b -- d;
c -- d;
d -- e;
}
(Ctrl+Dで終了)
$ dot -Tpng lattice5335.dot -o lattice5335.png
*1:誤解されず，かつ最も簡潔にこの操作を記述するにはどうすればいいか，思案中…．
*2:wikipedia:写像の合成．小さい丸が使えないもので．
