乗数効果を書く際に関心を持った，〈乗数と被乗数が区別される文脈〉と〈乗数と被乗数を区別しない文脈〉，あるいは“非対称問題”と“対称問題”について，Greerの以下の文献を読んでいるところです．
- Greer, B.: Multiplication and Division as Models of Situations, Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, pp.276-295 (1992).
とはいえ全文を読んで理解したとは言いがたい状況です．"TABLE 13-1. Situations Modelled by Multiplication and Division" (p.280)まではそれなりに読み，その後は飛ばしながらといったところです．
〈乗数と被乗数が区別される文脈〉は，最初のページの右カラムにあります．英文を書き出し，訳してみます．
A situation in which there is a number of groups of objects having the same number in each group normally constitutes a child's earliest encounter with an application for multiplication. For example,
3 children have 4 cookies each. How many cookies do they have altogether?
Within this conceptualization, the two numbers play clearly different roles. The number of children is the multiplier that operates on the number of cookies, the multiplicand, to produce the answer. A consequence of this asymmetry is that two types of division may be distinguished. Dividing the total by the number of groups to find the number in each group is called partitive division, which corresponds to the familiar practice of equal sharing (with social connotations of equity). Dividing the total by the number in each group to find the number of groups is called quotitive division (sometimes termed measurement division, reflecting its conceptual links with the operations of measurement).
(p.276)
いくつかのグループがあって，各グループで同じ個数のモノがあるときというのが，子どもが最初にかけ算を用いる場面になる．例えば
3人の子どもが4つずつクッキーを持っている．全部合わせるとクッキーは何個か？
これをかけ算の式で表そうとするとき，2つの数は明らかに異なる役割を担っている．子どもの数は「乗数」であり，クッキーの数すなわち「被乗数」に作用して，答えとなる総数が得られる．この非対称性から言えるのは，2種類のわり算を考えることができてそれぞれ区別されるということである．総数をグループの数で割って，各グループの数を求めるのは，等分除と呼ばれ，等しく分配するというよく知られた操作に対応する．総数を各グループの個数で割って，グループの数を求めるのは，包含除*1と呼ばれる（これは計量操作との概念的なつながりを反映している）．
〈乗数と被乗数を区別しない文脈〉は，次のページです．
Cartesian products provide a quite different context for multiplication of natural numbers. An example of such a problem is
If 4 boys and 3 girls are dancing, how many different partnerships are possible?
This class of situations corresponds to the formal definition of m × n in terms of the number of distinct ordered pairs that can be formed when the first member of each pair belongs to a set with m elements and the second to a set with n elements. This sophisticated way of defining multiplication of integers was formalized relatively recently in historical terms.
There is a symmetry between the roles of the two numbers here, and hence only one type of division problem. Given that there are 12 possible partnerships, there is no essential difference between (a) being told that there are 4 boys and asked how many girls there are and (b)being told that there are 3 girls and asked how many boys. (In fact, it would be unusual to pose division problems of this type.)
(p.277)
デカルト積は，自然数の乗法に対してまったく異なる文脈を与える．例題を示す．
4人の男の子と3人の女の子がダンスをするとき，男女のペアは何通りできるか？
一般化すると，順序対（(a,b)と(b,a)は区別される）の総数を求めようということである．その際，各順序対の最初はm個の要素からなる集合に，また2番目はn個の要素からなる集合に属する．そうすると，総数はm×nで表される．このような整数の乗法の定義は，比較的最近になって，歴史的な観点でなされるようになった．
この場合，×の前後に書く2つの数の役割は対称性を持ち，したがって除法の問題は1種類だけとなる．男女のペアは12通りであることを前提として，「(a) 4人の男の子がいるとき，女の子は何人いるか？」と「(b) 3人の女の子がいるとき，男の子は何人いるか？」との間に本質的な違いはない．（とはいえ，こんな形のわり算の問いを出題するのは普通じゃないんだけど．）
このすぐ下では，長方形の面積を取り扱っています．
p.280を丸ごと使っている表も，書き出して訳してみました．
表のサイズを示すときは，行の数，それから列の数，と言いたいところですが，都合により先に列から見ます．4列でして，表頭には，Class（分類），Multiplication problem（かけ算の文章題），Division (by multiplier)（乗数によるわり算），Division (by multiplicand)（被乗数によるわり算）とあります．
本体になる行は9行です（内部の改行は無視）．このうち下3行は，Division (by multiplier)とDivision (by multiplicand)が統合されています．
書き出す際，表ではなく箇条書きにしています．分類名を親，残りのカラムの記載内容を子とする，2レベルの箇条書きです．また文章題の和訳において，日本の小学校教育ではどんな式を書くことになるのか，カッコ書きで付記しました．
- Equal groups
- 3 children each have 4 oranges. How many oranges do they have altogether?
- 12 oranges are shared equally among 3 children. How many does each get?
- If you have 12 oranges, how many children can you give 4 oranges?
- Equal measures
- 3 children have 4.2 liters of orange juice. How much orange juice do they have altogether?
- 12.6 liters of orange juice is shared equally among 3 children. How much does each get?
- If you have 12.6 liters of orange juice, to how many children can you give 4.2 liters?
- Rate
- Measure conversion
- An inch is about 2.54 centimeters. About how long is 3.1 inches in centimeters?
- 3.1 inches is about 7.84 centimeters. About how many centimeters are there in an inch?
- An inch is about 2.54 centimeters. About how long in inches is 7.84 centimeters?
- Multiplicative comparison
- Iron is 0.88 times as heavy as copper. If a piece of copper weights 4.2 kg how much does a piece of iron the same size weigh?
- Iron is 0.88 times as heavy as copper. If a piece of iron weighs 3.7 kg, how much does a piece of copper the same size weigh?
- If equally sized pieces of iron and copper with 3.7 kg and 4.2 kg respectively, how heavy is iron relative to copper?
- Part/whole
- A college passed the top 3/5 of its students in an exam. If 80 students did the exam, how many passed?
- A college passed the top 3/5 of its students in an exam. If 48 passed, how many students sat the exam?
- A college passed the top 48 out of 80 students who sat an exam. What fraction of the students passed?
- Multiplicative change
- A piece of elastic can be stretched to 3.3 times its original length. What is the length of a piece 4.2 meters long when fully stretched?
- A piece of elastic can be stretched to 3.3 times its original length. When fully stretched it is 13.9 meters long. What was its original length?
- A piece of elastic 4.2 meters long can be stretched 13.9 meters. By what factor is it lengthened?
- Cartesian product
- If there are 3 routes from A to B, and 4 routes from B to C, how many different ways are there of going from A to C via B?
- If there are 12 different routes from A to C via B, and 3 routes from A to B, how many routes are there from B to C?
- Rectangular area
- What is the area of a rectangle 3.3 meters long by 4.2 meters wide?
- If the area of a rectangle is 13.9 m2 and the length is 3.3 m what is the width?
- Product of measures
- If a heater uses 3.3 kilowatts of electricity for 4.2 hours, how many kilowatt-hours is that?
- A heater uses 3.3 kilowatts per hours. For how long can it be used on 13.9 kilowatt hour of electricity?
- 同等のグループ
- 3人の子どもが4つずつミカンを持っている．全部合わせると何個になるか？（4×3＝12）
- 12個のミカンを，3人の子どもで同じ数になるよう分ける．1人につき何個もらうか？（12÷3＝4）
- 12個のミカンがあって，4個ずつ与えていくなら，何人に与えられるか？（12÷4＝3）
- 同等の量
- 3人の子どもが4.2リットルずつミカンジュースを持っている．全部合わせると何リットルになるか？（4.2×3＝12.6）
- 12.6リットルのミカンジュースを，3人の子どもで同じ量になるよう分ける．1人につき何リットルもらうか？（12.6÷3＝4.2）
- 12.6リットルのミカンジュースがあって，4.2リットルずつ与えていくなら，何人に与えられるか？（12.6÷4.2＝3）
- 率（変化率，割合）
- ボートが毎秒4.2メートルの決まった速度で進んでいる．3.3秒でどれだけ進むか？（4.2×3.3＝13.86）
- ボートが3.3秒で1.39メートル進んだ．平均速度は毎秒何メートルか？（13.9÷3.3＝4.2121…）
- 毎秒4.2メートルの速さで，13.9メートルを進むには何秒かかるか？（13.9÷4.2＝3.3095…）
- 単位の変換
- 1インチはおよそ2.54センチメートルである．3.1インチはおよそ何センチメートルか？（3.1×2.54＝7.874）
- 3.1インチはおよそ7.84センチメートルである．1インチはおよそ何センチメートルか？（7.84÷3.1＝2.529…）
- 1インチはおよそ2.54センチメートルである．7.84センチメートルはおよそ何インチか？（7.84÷2.54＝3.086…）
- 乗法的な比較*2
- 鉄の重さは銅の0.88倍である*3．ある銅のかたまりが4.2kgのとき，それと同じ大きさの鉄のかたまりは何kgか？（4.2×0.88＝3.696）
- 鉄の重さは銅の0.88倍である．ある鉄のかたまりが3.7kgのとき，それと同じ大きさの銅のかたまりは何kgか？（3.7÷0.88＝4.2045…）
- 同じ大きさの鉄のかたまりと銅のかたまりがあって，それぞれの重さが3.7kgと4.2kgのとき，鉄は銅の何倍の重さか？（3.7÷4.2＝0.8809…）
- 全体と部分の関係
- ある大学では，試験で上位3/5の学生を合格にした．80人の学生が試験を受けたなら，何人が合格したか？（80×3/5＝48）
- ある大学では，試験で上位3/5の学生を合格にした．48人の学生が合格したなら，何人が試験を受けたか？（48÷3/5＝80）
- ある大学では，試験を受けた80人の学生のうち上位48人を合格にした．合格者の割合は？（48÷80＝3/5）
- 乗法的な変化
- あるゴムバンドは，元の長さの3.3倍まで伸ばすことができる．元の長さが4.2メートルのとき，完全に伸ばしたら何メートルになるか？（4.2×3.3＝13.86）
- あるゴムバンドは，元の長さの3.3倍まで伸ばすことができる．完全に伸ばした状態で13.9メートルのとき，元の長さは何メートルか？（13.9÷3.3＝4.2121…）
- あるゴムバンドは，4.2メートルから，13.9メートルまで伸ばすことができる．長さは何倍になるか？（13.9÷4.2＝3.3095…）
- デカルト積
- AからBへ行くルートが3通りあり，BからCへ行くルートが4通りあるとき，AからBを経由してCへ行くルートは何通りあるか？（3×4＝12）
- AからBを経由してCへ行くルートが12通りあって，AからBへ行くルートが3通りあるとき，BからCへ行くルートは何通りあるか？（12÷3＝4）
- 長方形の面積
- 縦3.3メートル，横4.2メートルの長方形の面積はいくらか？（3.3×4.2＝13.86）
- ある長方形の面積が13.9平方メートルで，縦の長さが3.3メートルのとき，横は何メートルか？（13.9÷3.3＝4.2121…）
- 量の積
- ある暖房機が3.3キロワットの電力を4.2時間で消費するとき，電力量はいくらか？（3.3×4.2＝13.86）
- ある暖房機は1時間につき3.3キロワットを消費する．13.9キロワット時の電力量を消費するには，どれだけの時間，使用することになるか？（13.9÷3.3＝4.2121…）
デカルト積が用いられる場合を，絵で示しているのが，p.282右下のFIGURE 1-1 (e)です．これは，対象を，広げる，狭めるで取り上げた，中国の教科書の「5つの色の異なる風船が3束でいくつか」と同じ構造を持っています．
*1:wikipedia:en:Division_(mathematics)には"quotative division"と記載されていました．英辞郎で包含除を引くと，"measurement division"だけが出てきます．
*2:訳注：「単位の変換」では「3.1インチのモノ」と「7.84センチメートルのモノ」は同一の物体としてよいのに対して，「3.7kgの鉄のかたまり」と「4.2kgの銅のかたまり」を同一の物体とすることは決してできないという違いがある．
*3:理科年表オフィシャルサイト／物理／化学部：物質の密度の最初の段落に，鉄と銅の密度が書かれていて，7.874÷8.96＝0.878…．
