わり算を学習した小学校3年生の子ども向けに，「どうして0でわっちゃいけないの?」への説明を，考えてみました．
(1) かけてわる
数を二つ，用意しましょう．０はダメ，あとでね．
これから，「かけてわる」という計算をしてもらいます．
一つめの数に，二つめの数をかけて，出た答えを，二つめの数でわってみましょう．
さいごの答えは，どうなりますか?
一つめの数が４，二つめの数が５だったら…４×５＝２０，そして２０÷５＝４で，４になりましたね．
二つの数が同じでも，いいですよ．一つめの数が６，二つめの数が６だったら…６×６＝３６，そして３６÷６＝６で，６になりましたね．
「かけてわる」と，もとの数になります．小学校で習う計算では，一つめの数に，二つめの数をかけて，出た答えを，二つめの数でわったら，かならず一つめの数に，もどります．そういうふうに，なっています．
(2) わってかける
次は「わってかける」をしましょう．かけるのとわるのを，反対にします．
一つめの数が６，二つめの数が６だったら…６÷６＝１，そして６×６＝６で，やっぱり６にもどりました．
でも一つめの数が４，二つめの数が５だったら…４÷５は？ ０あまり４？ そのあとかけ算って，どうしよう？
安心してね．４年生，５年生，６年生になったら，４÷５や，その答えに５をかける計算も，習います．そしたら，一つめの数を，二つめの数でわって，出た答えに，二つめの数をかけたら，やっぱり一つめの数に，もどってくれます．
(3) ０に，かけてわる・わってかける
さいしょにダメって言ったけど，０もなかまに入れましょう．一つめの数を０，二つめの数を８とします．
０×８＝０で，０÷８＝０ですね．一つめの数になっています．
０÷８＝０，０×８＝０とすることも，できます．
かけてわっても，わってかけても，けっかは０．一つめの数と同じです．
(4) ０で，かけてわる・わってかける
二つめの数を０にすると，どうでしょうか？
一つめの数をそうですね，９にしましょう．二つめの数は，０です．「かけてわる」を，やってみましょう．
９×０＝０はいいとして，０÷０は…９になりますか？ ９にして，いいですか？
では，０÷０＝９としてみましょう．ここだけの，あなたとわたしだけの決まりですよ．
ところで，一つめの数を８，二つめの数を０にしたら，「かけてわる」とどうなります？
８×０＝０はいいよね．０÷０は９？ それとも８？
「わってかける」は，どうかな？
一つめの数を９，二つめの数を０にしますよ．９÷０は…０にしますか．それに０をかけるんだから，０×０＝０．あれ，もとの数の９に，もどらなくなったよ．
９÷０＝９なんかにしても，０をかけたら，答えはやっぱり０だね．
どうやら，二つめの数を０にしたら，「かけてわる」のも，「わってかける」のも，一つめの数になってくれないみたい．
実はこれ，４年になっても，５年になっても６年になっても，中学生になっても高校生になっても，同じなんだよ．
それでも，０でわったら何になるかを，決めたい？
背景にあるもの
キーワードは「逆数」です．それと，「xでわる」と「xの逆数をかける」を同一視します．
0に逆数がある（一つ決まる）と仮定したとき，かけてからわっても，わってからかけても，元の数にならないよ，という次第です．
式であらわすと，次のようになります．すなわち，a，bという文字に「一つめの数」「二つめの数」を対応させ，bの逆数をb^-1と表記したとき，a×b×b^-1＝a×b^-1×b＝aを満たすには，b≠0でないといけません*1．
関連
近況報告
ですが，昨夜「かけ算の順序にこだわる教育は古くさい，時代遅れだ」から始まる項目を加えまして，項目数はこれで97個です．
はてなダイアリー記法で39,000字を超えており，もちろん当ブログの最長エントリです．なお，リリース当初は86項目，約32,000字でした．
（最終更新：2012-12-04 晩）
