第3用法 - わさっきhb

いきなりですが問題です．

春男さんの家の畑の面積は30アールで，これは農地ぜんたいの面積の40%にあたるそうです。農地ぜんたいの面積はどれだけですか。

さっそくですが解答の前に元ネタです．

丹波武雄: 比の三用法の指導について, 日本数学教育会誌, Vol.51, No.10, pp.147-151 (1969). http://ci.nii.ac.jp/naid/110003848884

この文献（の授業記録*1）では，答の見当（30アールよりも大きくなることの確認），数直線に表わす作業のあと，a＝b×Pという公式をもとに，30＝x×0.4*2と立式し，x＝30÷0.4＝75(a)により答を得ています．
ですが，そのように先生が解いているのではありません．「上位群（100%），中位群（100%），下位群（70%）が正解であった」などと書かれていまして，実際には児童それぞれが解き，それを先生（著者）が観察しているという記述になっています．
当該文献には数直線の図が9つありますが，上の問題については，図がありません．そこで，自分なりに作ってみました．まずは「□×0.4＝30」すなわちかけ算の関係をもとにしたもの：

次に，第3用法の公式を直接適用して「30÷0.4」としたもの：

これらの図（二重数直線）は，あえて，当時のスタイルと現在のスタイルとの折衷型にしています．現在のスタイルで重要なのは，異なる量は異なる線上に割り当てるのと，2つの数の間に矢印をつけ，「×0.4」「÷0.4」を添えているところです．その一方で，現在だと，数直線をクロスする縦線を入れるのは，0のほか「30」「□」「0.4」「1」の箇所のみとするのが主流ですが，割合でいうと0.2，0.6，0.8のところにも入れているのは今回，参照した文献のスタイルをもとにしています．
当初の問題を解くだけであれば，これでおしまいなのですが，ここから話を進めていきます．出題は，逆思考，その中でも「乗法逆の除法」と呼ばれるものになっています．「30アールは(中略)の40%」だからといって，30×0.4としてはいけないよ，という意図です．
そして次の仮説が思い浮かびます：乗法逆の除法の典型的な場面は，第3用法なのではないか?
ここで三用法について，おさらいを*3：

第1用法：p＝A÷B，割合＝比べる量÷もとにする量*4
第2用法：A＝B×p，比べる量＝もとにする量×割合
第3用法：B＝A÷p，もとにする量＝比べる量÷割合

「乗法逆の除法」は，以下のとおり，『小学校学習指導用要領解説算数編』p.138にも載っています．

例えば，「96mのリボンは，24mのリボンの何倍の長さでしょう。」などのように「もとにする量」，「比べる量」から「倍」を求める場合についても除法が活用できる。さらに，「黄色のリボンの長さは72mで，白いリボンの長さの4倍です。白いリボンの長さは何mでしょう。」のように「比べる量」，「倍」から「もとにする量」を求めるような場合についても除法が活用できるようにする。
（強調は引用者）

「割合」ではなく「倍」という用語を用い，またその値が整数となっているのは，これは第4学年の内容だからです．黄色と白のリボンが別物ではありますが，数量の関係は，冒頭の畑の問題と同一であり，かけ算の式で表すなら□×4＝72，わり算だと72÷4＝18となります．
全国学力テストにも，同様の出題を見ることができます．
平成24年度実施の小学校算数A大問8で，問題文は「犬を飼っている人は8人です。この8人は，学級全体の人数の25%にあたります。学級全体の人数は何人ですか。求める式と答を書きましょう。」となっており，上と同じ構造です．正答率は58.7%*5です．報告書には「百分率の意味について理解することに課題がある」と書かれています．
三用法に話を戻します．乗法逆の除法で，第1用法に当たるものが存在しないのかというと，おそらく人工的な場面や出題は，できるのではないかと想像しています．しかし苦労して問題文を作ったとしても，もとにする量を適切に見出した上で，「比べる量÷もとにする量」と立式しておしまい（かけ算とわり算の関係なんて，そこでは考えなくていいのだよ），となるように思えるのです．
「乗法逆の除法といえば第3用法であり，第1用法のものは存在しない」という仮説がもし，正しいのなら，それは「かけ算が1つ，わり算が2つ」という考え方を補強するものとなります．
具体的に書くと，除法の意味づけは従来，「包含除」「等分除」「乗法の逆」の3つとされてきたけれども，〈乗数と被乗数が区別される文脈〉においては，「等分除」と「乗法の逆」が同一視でき，したがって2つになるということです．〈乗数と被乗数を区別しない文脈〉においては，今回の検討に左右されず，「かけ算が1つ，わり算が1つ」のままです．
次に，第1用法・第2用法・第3用法の並び順*6についても，歴史的理由とまた別の説明を与えることができます．というのも，わり算によって割合(p)を定義し，もとにする量(B)にその割合をかければ，ほしい値(A)が得られるので，そこから第1用法＜第2用法という順序関係が得られます．かけ算の関係式から，もとにする量を求める関係式を導き出せるので，第2用法＜第3用法となります．
その一方で，二重数直線や4マス関係表を使った出題や解説，学習においては，第2用法（乗法）・第3用法（等分除の拡張）・第1用法（包含除の拡張）の順になっていることも，合理的な説明ができます．A＝B×pとB＝A÷pの間には，それらの式とp＝A÷Bよりも，強固な関係があるのです．図示においては，矢印と「×p」があるとき，矢印の向きを反対にして，「÷p」を添えれば，値そして数量関係を維持したまま，かけ算からわり算の関係にできます．
数学（量の理論）に関しても，Nagumo (1977)を思い起こさせます．この論文では，量Qにおける線型写像を，Φ(q)＝mqと式にした直後に，逆写像の式 $\Phi^{-1}(q)=m^{-1}q$ を書いています．ここでmqを「q×m」， $m^{-1}q$ を「q÷m」に対応づければ，第2用法をもとに第3用法の式を得ることを表しています．