OoM総集編2 - わさっきhb

かけ算の順序論争 (2013.11)

二重数直線まとめ

きりぬき

To the best of my knowledge, the oldest example is found in the prototype of Elementary School Teaching Guide for the Japanese Course of Study, Mathematics, published in 1951 [Link 10J]. It is reported that more than a few pupils replied the incorrect expression in calculating the number of pencils using multiplication, where the writer inferred from their reactions that they lined the two numbers up and sandwiched in the times sign without thinking deeply, and that they were incapable of organizing the situation for a valid choice of operation. The teacher told the pupils that the expression did not fit in with the problem because it would yield the number of persons. Here B-4 was adopted.
Towards Order-of-Multiplication Dispute （English Version）

刊行年は2013年と1988年，執筆者は新進気鋭の研究者と酸いも甘いも噛み分けた実践家---．
そんな違いがある中，今回2つの本から取りだした「かけ算の順序論争」について，いくつか共通する部分があります．
まず，論争の対象となっている式について，結論として明快に「正解である」「間違いである」とはしていないことです．ある条件のもとで，正解になるであろう，という書き方なのが共通しています．
次に，どちらも，交換法則を根拠とするのは不適切としています．「式」と「計算／演算」の区別，と言うこともできます．
そして，小原はトランプ配り（とVergnaudにによる「関数的な操作」），松原および柳瀬はアレイを，正解になり得る根拠としてそれぞれ挙げていますが，いずれも，かけ算を学習する2年のときにどのように授業で取り入れればよいかについては，何も言っていません．
2013年はトランプ配り，1988年はアレイ

乗法構造と遠山啓についての，個人的な理解は，次のとおりです：1972年の「6×4，4×6論争にひそむ意味」を書いた時点では，机の問題を引き合いに出してどちらでもいいとしていることから，乗法構造に対する詳細な検討や理解が見られませんでした．その後，森や銀林の著書，構造主義という現代思想，そして算数・数学教育において学習者や教師・研究者らとの交流を通じて，乗法構造（遠山の場合は，かけ算のシェーマ）として何が教育上，最もよいかを醸成していき，1979年の講演の中で「総量＝内包量×容量」を明示したのでした．
1970年代の乗法構造（1）―遠山啓，総量＝内包量×容量

このように，流れは異なりますが，2つには共通点もあります．マイナス×マイナスがプラスになることを説明するときに使う数は，整数を用いており，小数や実数は使いません．もう一つは，かけられる数とかける数の違いに注意しながら，議論を進めているところです．交換法則は現れません．2×（-3）と（-2）×3，あるいはa×（-b）と（-a）×bがが等しいのは，別々の理由でそのかけ算の答えが-6あるいは-abになるため，と言えます．
負の数のかけ算

インターネット上で目にする，ある種の「かけ算の順序」論争は，将棋をやっているようなものです．
ある種の，というのをもう少し具体的に書きましょう．ブログで，あるいはTwitterで，素朴な意見や，発言者さんなりの経験・感覚を，まとまった文章，あるいは一言メッセージとして公開した直後に，とてつもないコメントがつく，そんな光景です．

意図しないコメントがついた方へのアドバイス：あなたは駒でも石でもありません．将棋指しあるいは碁打ちです．応対するか，手抜きするかは，あなた次第です．
かけ算の順序と囲碁将棋

絵を作ってWeb上に置いてから，「パソコンでブラウザを立ち上げ，これから言うアドレスにアクセスしてください．えいちてぃーてぃーぴー(以下略)」と言う．

将棋を知っている人には，「○の配置を申し上げます．いちいち○，いちにい○，いちさん○，にいいち○，にいにい○，にいさん○，さんいち○，さんにい○，さんさん○，よんいち○，よんにい○，よんさん○」と言う．

なんかが，ぱっと思い浮かびますが，どう見ても，みんなに通じるとは思えません．
アレイを伝える

ここで，いわゆるトランプ配りの乗法への適用には，「それはそれでたいしたものである。だが」とイエスバット法を用いて，どのように考えればよいかを示しています．個人的には，トランプ配りを提案した子がいても，もしくは単に文章に登場する数の順に式を書いた子だったとしても，図を描けば3×7になることをクラスで確認するというのが，そこで期待される授業の進め方ではないかなと思っています．その際，本文には書かれていませんでしたが，7×3はこういう図になるよと言う子が出てくる可能性も，考えたいところです*1．
*1：このチューリップの問題で7×3も正解だよという主張は，「7×3はこういう図だよ」と言う子を否定することにもつながります．これは特定の子どもの話だとか，“トランプ配り”や“逆に書いたら”と持ち出す子どもが果たしているかどうかというレベルに留まることなく，算数における式の表現や式の読み，また上の学年まで含めた乗法構造(multiplicative structures)などと関連づけ，慎重な検討が必要なところです．
掛順ひっかけ問題は，ネットde真実

（最終更新：2014-03-09 早朝．閉じ"]"忘れを修正しました．）